La modellazione degli edifici in muratura: le analisi push-over attraverso CDMa Win-Modulo MacroMuri 3D

Il territorio italiano è estremamente ricco di edifici di grande rilevanza storica, architettonica e sociale realizzati in opera muraria. La vulnerabilità sismica di questi edifici è usualmente molto elevata sia per l’elevata grado sismicità del nostro territorio, evidenziato dai diversi eventi sismici anche di forte intensità che si sono ripetuti negli ultimi anni, sia per l’inevitabile stato di degrado in cui tali edifici spesso si trovano a seguito della loro vetustà e dei terremoti cui sono stati soggetti durante la loro vita.

Le verifiche sismiche degli edifici in muratura

Dalle precedenti considerazioni appare evidente la necessità della messa a punto di tecniche di modellazione e verifica sismica degli edifici in muratura che consentano di valutarne la vulnerabilità e di progettare eventuali interventi di miglioramento o di adeguamento sismico, se necessari.

La verifica sismica può essere condotta in campo elastico o non lineare. L’analisi elastica è però poco adatta a descrivere il reale comportamento di edifici esistenti in muratura e quindi sono sicuramente da preferire le tecniche di analisi non lineari.

L'analisi push-over

Fra queste quella più diffusamente utilizzata è l’analisi push-over. Si tratta di una procedura di verifica sismica estesamente descritta nella letteratura scientifica e recepita dalle Norme Tecniche per le Costruzioni (NTC ‘18) [1] e quindi ormai perfettamente codificata.

L’analisi push-over richiede la definizione di un modello non lineare del sistema strutturale. Al contrario degli edifici in calcestruzzo armato o acciaio, nei quali il sistema strutturale è facilmente individuabile, per gli edifici in muratura i singoli elementi resistenti devono essere dedotti dallo schema geometrico globale tenendo anche conto della distribuzione e dell’intensità delle azioni esterne. A questa complicazione si aggiunge quella derivante dalle geometrie estremamente articolate e complesse che spesso hanno gli edifici esistenti in muratura. 

Nelle analisi sismiche di edifici in muratura la definizione del modello strutturale è quindi sempre operazione ardua e non necessariamente univoca. Ulteriori difficoltà di modellazione derivano dalle caratteristiche peculiari del materiale muratura che, essendo costituito dall’assemblaggio di malta e blocchi naturali o artificiali, è fortemente non omogeneo ed anisotropo, usualmente ortotropo, ed ha legame costitutivo marcatamente non lineare e con ridottissima resistenza a trazione, quasi sempre trascurabile. Le caratteristiche meccaniche del materiale composto dipendono da quelle dei singoli materiali componenti, blocchi e malta, e dal loro grado di connessione e sono in genere di difficile determinazione.

Appare quindi evidente come la messa a punto di una tecnica di modellazione degli edifici in muratura che risulti nel contempo sufficientemente affidabile e computazionalmente non proibitiva sia operazione molto complessa.

Il modello strutturale deve essere in grado di cogliere i principali aspetti del comportamento non lineare del materiale muratura facendo uso di pochi parametri costitutivi e contemporaneamente deve essere tale che la sua cinematica possa essere descritta tramite un numero ridotto di gradi di libertà, in modo da rendere accettabili i tempi di calcolo necessari a condurre le analisi.

I due approcci di modellazione: micro-modellazione e macro-modellazione

Nella letteratura scientifica la problematica della modellazione degli edifici in muratura è affrontato seguendo due diversi approcci, noti come micro-modellazione e macro-modellazione.

Nella micro-modellazione si effettua una descrizione dei singoli materiali costituenti la muratura, blocchi e giunti di malta, tramite differenti modelli costitutivi. Usualmente tale approccio è perseguito facendo uso del metodo agli elementi finiti. Per sua natura questa tecnica è in grado di descrivere sistemi strutturali eterogenei e con geometria comunque complessa, ma richiede un numero di gradi di libertà talmente elevato nella definizione del modello da rendere la micro-modellazione pressoché inapplicabile nello studio di sistemi strutturali reali. Il suo utilizza si limita quasi esclusivamente alla validazione di tecniche di modellazione semplificate.

Nella macro-modellazione non è necessario descrivere i legami costitutivi dei singoli materiali componenti ma si utilizzano dei macro-elementi che siano in grado di cogliere il comportamento globale di intere porzioni strutturali quali maschi murari, architravi e pannelli di nodo. Il singolo macro-elemento deve quindi descrivere tutti i possibili meccanismi anelastici tipici delle pareti in muratura facendo uso di pochi parametri costitutivi e di un ridotto numero di gradi di libertà. Questo approccio consente di semplificare drasticamente la descrizione degli edifici e di contenere i tempi di calcolo necessari all’analisi strutturale. Di contro però presenta la difficoltà di riuscire a formulare un modello analitico capace di tenere conto di tutti gli aspetti del comportamento non lineare di un’intera porzione di un edificio in muratura tramite un unico elemento strutturale.

In letteratura sono stati proposti diversi macro-elementi atti alla modellazione di edifici in muratura.

Particolare utilizzato è il macro-elemento proposto da Gambarotta, Lagomarsino et al. [2], [3]. Si tratta di un elemento a due nodi nel quale le deformabilità assiale e flessionale sono concentrate nelle due estremità, superiore ed inferiore, e la deformabilità a taglio nella porzione centrale. Il vantaggio di questo modello consiste nella possibilità di riprodurre i principali modi di collasso tipici dei maschi murari con un ridotto numero di parametri meccanici e cinematici.

Più di recente un nuovo macro-elemento è stato messo a punto da Caliò et al. [4], [5]. Questo consiste in un quadrilatero articolato a quattro nodi con due molle diagonali al suo interno ed un sistema di molle sull’interfaccia. Le molle sono tutte a comportamento non lineare ed hanno legame costitutivo tale da riuscire a descrivere i diversi meccanismi di collasso del pannello murario. Si tratta di un macro-elemento bidimensionale che quindi risulta essere più ricco rispetto a quello di Gambarotta e Lagomarsino, che essendo a due soli nodi è invece di tipo prettamente monodimensionale.

Infine nel novero delle tecniche di modellazione per macro-elementi deve essere considerato il modello a telaio equivalente proposto da Magenes e Calvi [6], [7] e noto con l’acronimo di metodo SAM. Questo prevede di modellare gli edifici in muratura, essenzialmente composti da setti, attraverso uno schema di aste intelaiate. Nel modello strutturale gli elementi maschi murari e fasce di piano sono idealizzati rispettivamente come pilastri e travi a comportamento non lineare a flessione ed a taglio. Gli elementi nodo sono invece ipotizzati come infinitamente rigidi e modellati tramite l’introduzione di opportuni link rigidi che fungono da collegamento fra gli elementi travi e pilastri.

Verifica sismica globale di edifici in muratura

La valutazione della sicurezza strutturale di un edificio in muratura e l’eventuale progettazione degli interventi necessari per il miglioramento o l’adeguamento sismico richiedono la definizione di una strategia di verifica sismica globale. Per gli edifici in muratura le NTC ‘18 prevedono la possibilità di utilizzare metodi di analisi strutturali lineari con fattore di comportamento o non lineari. L’analisi elastica appare però poco adatta a descrivere il reale comportamento di edifici in muratura soggetti ad azioni sismiche, in particolar modo nel caso di edifici esistenti. Per tale ragione a nostro parere sono sempre da preferire le tecniche di analisi sismica non lineare. Fra queste forse l’unica che può essere utilmente utilizzata per gli edifici in muratura è l’analisi statica non lineare, meglio nota con la denominazione di analisi push-over.

L’analisi push-over consiste nell’applicare ad un modello strutturale non lineare un sistema di forze orizzontali di intensità monotonicamente crescente e di seguire l’evoluzione della risposta strutturale in modo da determinare la capacità del sistema di sopportare le azioni sismiche fino al raggiungimento dei diversi stati limite che si intendono verificare. Per la sua applicazione è quindi necessario definire un modello strutturale capace di cogliere i diversi aspetti del comportamento non lineare del sistema reale. La tecnica SAM di modellazione a telaio equivalente è quella più diffusamente utilizzata nelle analisi push-over di edifici in muratura. Questa infatti ha una formulazione relativamente semplice e nel contempo è in grado di descrivere con sufficiente accuratezza il reale comportamento sismico degli edifici in muratura, così come confermato dalla letteratura scientifica [8], [9], [10].

Quanto affermato è vero almeno fin quando gli edifici da verificare hanno geometrie sufficientemente regolari. Se invece sono presenti forti irregolarità o si ha una diposizione caotica delle aperture, l’individuare le varie porzioni di muratura da modellare come singole aste può risultare complicata e non univoca. In questi casi il metodo SAM potrebbe cadere in difetto perché rischia di trascurare il contributo resistente di intere porzioni di muratura non riconducibili ad un sistema ad aste o perché può richiedere l’utilizzo di link rigidi di lunghezza eccessiva. Nasce quindi la necessità di mettere a punto tecniche di modellazione alternative a quella a telaio equivalente.

Modulo MacroMuri 3D

Il software C.D.Ma Win per la verifica sismica degli edifici in muratura consente di condurre, oltre alle semplici analisi lineari, anche analisi non lineari tipo push-over. Il modello strutturale adottato per tali analisi è quello SAM a telaio equivalente.

Il modello a telaio viene generato in automatico dal software a partire dallo schema geometrico a setti inserito nella fase di input per impalcati e può essere visualizzato nella fase di input spaziale. Il raffronto fra i due modelli strutturali, a setti e ad aste, consente di fare una valutazione qualitativa del grado di approssimazione introdotto nell’applicazione del metodo SAM. In particolare risulta semplice notare come nel caso di edifici sufficientemente regolari e con aperture ben allineate in genere si ottiene una diretta corrispondenza fra i singoli maschi murari dello schema geometrico e le aste del modello a telaio, che quindi fornirà una buona approssimazione del reale comportamento del sistema strutturale. Differente è il caso di edifici fortemente irregolari, nei quali è possibile che nella definizione del modello ad aste intere porzioni di muratura vengano trascurate. In entrambi i casi lo schema a telaio potrebbe contenere aste a comportamento non lineare di lunghezza ridotta fra loro connesse da link rigidi molto estesi rappresentativi dei nodi. Ciò può comportare che il modello strutturale ad aste non riesca di fornire una buona rappresentazione del reale comportamento del sistema strutturale da analizzare, con conseguente poca affidabilità dei risultati della verifica sismica ottenuto tramite analisi push-over.

Per superare le possibili limitazioni del modello SAM è stato di recente introdotta nel software C.D.Ma Win un nuovo modulo denominato MacroMuri 3D che consente di modellare le strutture in muratura tramite macro-elementi bidimensionali. Quello utilizzato è un macro-elemento a 3 o 4 nodi [11] la cui formulazione prende spunto da quello proposto da Caliò et al.

Il software consente di selezionare il tipo di modellazione da adottare per le strutture in muratura. Le possibili modellazioni sono le seguenti:

• Shell: gli elementi strutturali in muratura sono discretizzati tramite la tecnica agli elementi finiti e modellati come shell bidimensionali elastici. Questa modellazione può essere utilizzata esclusivamente per eseguire analisi elastiche mentre ovviamente non è adatta a condurre analisi push-over;
• Aste: il sistema strutturale viene modellato tramite il metodo SAM a telaio equivalente. Si ottiene così un modello strutturale non lineare da utilizzare per le analisi push-over;
• Macro-elementi: l’intero sistema strutturale in muratura è inizialmente discretizzato tramite una mesh del tipo di quella utilizzata nel metodo agli elementi finiti. Ogni singolo elemento della mesh è quindi modellato come macro-elemento. Si ottiene quindi ancora un modello non lineare del sistema strutturale sul quale condurre analisi push-over.

Se si adotta il modello a macro-elementi, data la maggiore complessità di questo rispetto a quello ad aste, l’analisi non lineare è condotta facendo uso del solutore OpenSees. In questo caso è necessario fissare i valori di una serie di parametri aggiuntivi che hanno lo scopo di calibrare l’analisi. Sono di seguito descritti i parametri che hanno maggiore influenza sulle analisi push-over di edifici in muratura modellati con macro-elementi. Per gli altri parametri si rimanda al manuale del software.

• Spostamento massimo: è il valore u_c,Max  dello spostamento del punto di controllo raggiunto il quale l’analisi push-over si arresta. Questa potrebbe anche arrestarsi prima se viene raggiunto lo SLC per valori dello spostamento del punto di controllo inferiori a u_c,Max o se si manifesta una mancata convergenza della strategia di risoluzione;
• Numero passi: è il numero n_p di incrementi delle forze orizzontali fatte durante l’analisi per raggiungere lo spostamento massimo fissato. Si precisa che l’analisi push-over con solutore OpenSees è condotta a controllo di spostamento. Quindi ad ogni passo le forze orizzontali sono incrementate di un valore tale che il corrispondente incremento di spostamento Δu_c  del punto di controllo sia sempre uguale e pari al rapporto fra i valori fissati dello spostamento massimo e del il numero di passi: Δu_c = u_c,Max / n_p;
• Numero massimo di collassi: numero massimo di elementi in muratura che possono collassare prima che l’analisi si arresti. Va precisato che il numero di elementi giunti a collasso non coincide con quello dei macro-elementi collassati. Infatti il software, dopo aver creato la mesh di discretizzazione in macro-elementi, procede ad una riunificazione di gruppi di macro-elementi secondo criteri di appartenenza ad un unico elemento strutturale. L’analisi push-over è condotta tenendo conto della mesh di macro-elementi inizialmente creata ma la verifica è invece fatta sui gruppi riunificati di macro-elementi. Quando collassa un elemento strutturale composto dall’unione di più macro-elementi questo sarà conteggiato come un unico collasso.

Se i valori dei parametri appena descritti sono fissati in maniera non corretta si rischia di compromettere l’accuratezza e la convergenza dell’analisi o di far crescere esageratamente i tempi di calcolo. Il dato di maggiore importanza è l’incremento al passo dello spostamento del punto di controllo Δu_c , che come mostrato dipende dai valori fissati dello spostamento massimo u_c,Max e del numero di passi n_p. L’incremento di spostamento di   non deve essere troppo grande in modo da scongiurare la mancanza di convergenza in un passo dell’analisi, sempre possibile data la complessità del comportamento non lineare dei macro-elementi. Di contro però il valore di   non deve essere neanche troppo piccolo perché altrimenti i tempi necessari alle analisi risulterebbero esageratamente lunghi. Si precisa che in ogni caso la durata dell’analisi push-over con modello a macro-elementi è sempre molto maggiore rispetto a quella condotta con modello ad aste e ciò per la complessità del comportamento non lineare e per l’elevato numero di gradi di libertà necessari a descrivere la cinematica del modello.

Da quanto accennato segue che in fase di calibrazione dell’analisi è utile fissare con attenzione i valori del massimo spostamento u_c,Max dello spostamento del punto di controllo raggiunto il quale l’analisi push-over si arresta. Questa potrebbe anche arrestarsi prima se viene raggiunto lo SL , facendo una stima del spostamento atteso allo SLC in sommità dell’edificio in oggetto, e del numero di passi n_p, che deve essere tale da non avere incrementi di spostamento al passo  Δu_c troppo grandi o troppo piccoli. In ogni caso il software fa sempre una valutazione dei valori ottimali di questi parametri, e se questi risultano troppo distanti da quelli fissati chiede se si vuole procedere ad una correzione automatica degli stessi.

In conclusione il nuovo modulo MacroMuri 3D consente di modellare edifici in muratura con geometrie irregolari in modo più accurato rispetto al modello a telaio equivalente. Il modello strutturale a macro-elementi richiede un numero di gradi di libertà notevolmente maggiore rispetto al metodo SAM e manifesta un comportamento non lineare decisamente più complesso. Ne segue che le analisi push-over richiedono tempi di calcolo decisamente maggiori ed in casi particolari possono anche non giungere a soluzione. La formulazione a macro-elementi quindi è da considerarsi come una tecnica di modellazione da utilizzare quando il metodo SAM a telaio equivalente appare non adatta a descrivere la cinematica del sistema strutturale da verificare.

Nei prossimi articoli verranno mostrati una serie di semplici applicazioni dell’analisi push-over ad edifici in muratura condotta tramite il software C.D.Ma Win allo scopo di evidenziare le potenzialità ed i limiti del nuovo modulo MacroMuri 3D e di raffrontare i risultati ottenuti con le due differenti tecniche di modellazione non lineare presenti nel software.

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