Modellazione strutturale: impalcato rigido o impalcato deformabile?...o altro

Nel presente articolo si cerca di fare chiarezza sull’annosa questione tanto discussa del livello di precisione che si può raggiungere utilizzando una delle due ipotesi predominanti di impalcato infinitamente rigido o di impalcato infinitamente deformabile o soluzioni diverse. 

Saranno esaminate di seguito strutture in cemento armato e solai a nervature parallele in c.a. misto a laterizi, solai che sono i più usati. 

Le varie ipotesi di impalcato 

La definizione di "impalcato rigido"

Per impalcato infinitamente rigido (comunemente definito impalcato rigido, termine con il quale lo definiremo di seguito), si intende un insieme di elementi strutturali aventi la caratteristica geometrica comune di appartenere al medesimo piano (parallelo al piano orizzontale XY), in cui i nodi non mutano la loro reciproca distanza sul piano X-Y e subiscono le medesime rotazioni attorno all'asse Z. 

Per l’utilizzo dell’impalcato rigido viene instaurata una dipendenza tra lo spostamento, nel piano X-Y, di un nodo virtuale e ausiliario (Master) e quello dei rimanenti nodi appartenenti all'impalcato medesimo (slave). Il nodo Master viene generalmente collocato in corrispondenza del centro delle masse dell'impalcato. Le componenti di movimento appartenenti al piano dell'impalcato definito rigido sono legate, pertanto, a quella del nodo Master mentre le rimanenti rimangono indipendenti da esso. Con tale ipotesi, i gradi di libertà per ognuno dei nodi slave passano da 6 a 3, con un conseguente risparmio in tempo e in risorse per le analisi computazionali. A titolo di esempio, una struttura provvista di due impalcati e di 8 nodi per impalcato, nel caso di entrambi gli impalcati rigidi, presenta 8×3x2 + 3x2= 54 gradi di libertà mentre, nel caso di entrambi gli impalcati definiti deformabili, presenta 8×6x2 = 96 gradi di libertà. 

L’impalcato rigido si comporta (come ipotesi assunta) in modo infinitamente rigido nel piano orizzontale a cui appartiene ed in modo infinitamente deformabile ortogonalmente al suo piano.

La definizione di "impalcato deformabile" 

Con l’impalcato infinitamente deformabile vengono affidate le azioni orizzontali nei nodi dove esse insistono ed alle stesse si oppongono l’insieme delle membrature, comunque orientate nello spazio e viene totalmente ignorato l’apporto irrigidente delle membrane dei solai. I gradi di libertà a nodo totalmente libero sono 6 e l’applicazione dell’impalcato deformabile viene comunemente considerata il metodo esatto. L’impalcato deformabile si comporta (come ipotesi assunta) in modo infinitamente deformabile sia nel piano orizzontale che in quello verticale, l’impalcato deformabile è il nome al quale di seguito assoceremo tutti i tipi di impalcati ai quali non è stata considerata la rigidezza nel piano orizzontale del solaio, sia quello del quale è stata valutata la rigidezza delle stesse, considerata la qualità meccanica.

Entrambi i metodi comunque hanno i loro pregi ed i loro difetti e pertanto spetta al progettista la scelta più consona della modellazione in quanto ha perfetta conoscenza dell’opera progettata e delle scelte strutturali ad essa applicate. 

Le seguenti figure sintetizzano tale concetto e riportano lo stato deformativo e lo stato tensionale per le sole azioni assiali relativamente alle ipotesi di impalcato rigido (fig. 1.a e fig. 1.b) e deformabile (fig.2.a e fig. 2.b) a seguito dell’applicazione di una forza concentrata in corrispondenza di un nodo di estremità di un impalcato del tutto privo di simmetria geometrica. 

impalcato-rigido-deformabile-confronto-1-2.JPG

Da tali figure si possono evincere importanti informazioni: 

  • a parità di azioni sollecitanti esterne l’impalcato rigido (fig.1.a) ripartisce maggiormente su tutti i pilastri l’azione tagliante e contiene maggiormente lo spostamento di piano rispetto al caso dell’impalcato deformabile (fig. 2.a);
  • gli elementi strutturali disposti completamente nel piano rigido (travi) sono privi di sollecitazioni assiali (fig. 1.b) a seguito della immutata distanza tra i nodi che li delimitano gli estremi delle travi nelle condizioni ante e post applicazione del carico;
  • eventuali elementi strutturali disposti completamente nel piano deformabile sono invece regolarmente provvisti di sollecitazioni assiali (fig. 2.b) a seguito della conseguente variata distanza tra i nodi che delimitano gli estremi delle travi nelle condizioni ante e post applicazione del carico. 

Ecco perchè all’inizio si applicava l'ipotesi di dell’impalcato infinitamente rigido 

Per capire il momento in cui si è cominciato ad adottare in Italia l’ipotesi di impalcato rigido alle azioni orizzontali ed assiali bisogna tornare indietro nel tempo e ripercorrere le richieste delle varie legislazioni antisismiche. In questo modo si potrà comprendere come mai una ipotesi che viene considerata molto ”FORTE” abbia potuto avere tanto seguito. 

Fino alla pubblicazione del D.M. 26 gennaio 1986, per le strutture in c.a. in zona sismica, veniva richiesto ai progettisti un calcolo analitico relativamente approssimativo e articolato su molte semplificazioni. In particolare, con la Legge n. 1684 del 25.11.1962, veniva consentito il calcolo di un unico telaio piano significativo per la struttura provvista del peso proprio, dei carichi verticali permanenti e accidentali (valutati sulla base dei pannelli di carico e delle aree di influenza e in funzione della distanza ortogonale tra due telai piani consecutivi). Le azioni sismiche orizzontali di piano venivano semplicemente calcolate come 1/3 dei carichi accidentali, ridotte al 10% per le zone sismiche di 1° categoria ed al 7% per le zone sismiche di 2° categoria. Gli edifici, pertanto, venivano calcolati senza considerare alcun comportamento tridimensionale o pseudo tridimensionale. 

La Legge n. 64 del 1974, non modificava sostanzialmente le precedenti se non per la richiesta del calcolo di due telai ortogonali tra loro anziché di un unico telaio piano; la rimanente parte della struttura veniva comunque armata per similitudine con la parte calcolata. 

Si può affermare che la vera svolta per l’ingegneria antisismica italiana avviene con la pubblicazione del DM LL.PP. 26 gennaio 1986 che, tra le tantissime novità introdotte, richiese l’analisi della struttura nel suo insieme tridimensionale. L’approccio analitico per lo strutturista, cambiò, quindi, radicalmente e, per la prima volta, ci si pose il problema della difficoltà di poter affrontare con procedure manuali il calcolo tridimensionale anche in presenza di fabbricati relativamente semplici. 

Inevitabilmente lo stesso problema ha interessato anche i produttori di software tecnico che si trovarono nella condizione di dover accettare la sfida di sviluppare complicati algoritmi di calcolo da svolgersi in tempi accettabili in un percorso ricco di difficoltà legate dalla disponibilità di strumenti hardware dalle prestazioni limitate (sia per quantità di memoria, sia per velocità di esecuzione) per poter affrontare tale tematica.

La necessità aguzza l’ingegno ed è, pertanto, proprio in questo periodo che si è pensato di affrontare il problema delle analisi strutturali tridimensionali introducendo per la prima volta il concetto di impalcato rigido, con la consapevolezza del fatto che si trattasse di un’ipotesi certamente semplificativa ed approssimativa ma l’unica attuabile in quel momento per il calcolo delle strutture e in grado di avvicinarsi al comportamento reale dell’opera analizzata. 

Sin dall’inizio, ovviamente, non sono mancati i dubbi sull’applicabilità incondizionata del metodo specialmente in presenza di elementi strutturali orizzontali di piano (travi e solai) non capaci di offrire una idonea rigidezza specialmente se confrontata con quella degli elementi verticali portanti. 

In particolare la tipologia più diffusa di solaio misto in c.a. a nervature parallele e a laterizi di alleggerimento, figura 3, non è certamente definibile dal comportamento isotropo ma ortotropo e pertanto presenta rigidezze dal valore diverso in funzione della direzione considerata. Infatti i travetti delle nervature di tali solai sono disposti generalmente in modo da massimizzare la resistenza alle azioni gravitazionali ivi agenti e non certamente per ottimizzare la resistenza alle forze orizzontali.

solaio-disegno-3.JPGFigura 3

Nel caso di edifici multipiano i solai, a parità di tipologia, verranno dimensionati, in termini di spessore, solo sulla base dei carichi verticali di pertinenza e della propria luce. Piani diversi con diversa destinazione d’uso, potranno presentare solai diversamente spessi e pertanto diversamente rigidi, con effetti non trascurabili sul comportamento globale della struttura quando sottoposta alle azioni orizzontali.  Il concetto di impalcato rigido non risulta ovviamente nella condizione di poter differenziare tale casistica. 

Grande importanza può assumere una marcata differenza di rigidezza agli spostamenti orizzontali tra gli elementi strutturali verticali di sostegno ad uno stesso impalcato. L’impalcato rigido, con la sua condizione da rispettare di immutata distanza tra i nodi, potrebbe generare in questi casi importanti scompensi imponendo spostamenti rilevanti a elementi verticali rigidi con la conseguente generazione di stati sollecitazionali molto importanti. 

Le figure seguenti riportano bene tale concetto. La struttura rappresentata, con l’intento di massimizzare gli effetti da mettere in risalto, presenta forma planimetrica rettangolare, travi molto flessibili e due pilastri, disposti nel lato opposto rispetto al punto di applicazione del carico, decisamente più rigidi rispetto al resto degli elementi strutturali verticali. A seguito dell’analisi, con ipotesi di impalcato rigido, i due pilastri più rigidi (fig. 4.b) presentano spostamenti in testa pari al doppio rispetto al caso della stessa analisi in condizione di impalcato deformabile (fig. 4.c).

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Una conseguenza diretta di ciò è costituita dal fatto che le azioni taglianti su tali ritti rigidi, nel caso di ipotesi di impalcato rigido (fig.5.a), sono, a parità di carico, decisamente maggiori rispetto al caso con impalcato deformabile (fig. 5.b) 

impalcato-rigido-deformabile-5.JPG 

È evidente che l’ipotesi di impalcato rigido, per quanto fin qui esposto, costituisce un concetto poco applicabile in presenza di solai flessibili, dalle geometrie complesse o provvisti di significative forature, e non garantisce, in ogni caso, il reale comportamento strutturale, costituendo, di fatto, una formulazione numerica semplificata che necessita, per poter essere applicata, di precisi presupposti fisici affinché i risultati ottenuti siano i più veritieri possibili.  

Conforta, certamente, il fatto che tale ipotesi era già stata applicata all’università di Berkeley, da chi, negli anni (1968-1969), ha inventato il metodo di risoluzione FEM, e l’impalcato rigido veniva modellato usando la condensazione statica o i link rigidi per le lastre rigide di impalcato, semplificando significativamente l’entità degli elementi della matrice dinamica. Il motivo non era scientifico ma solo approssimato e di natura pratica. All’epoca erano stati fatti approfondimenti di analisi matriciale, introducendo operazioni nel sottospazio e l‘estrazione dei modi di vibrare a blocchi (per esempio il metodo Wilson Theta per 5 modi di vibrare per volta), ma comunque il sistema scientificamente esatto era molto dispendioso in termini di tempo e non aveva la versatilità dell’ipotesi di impalcato rigido.

La FEMA (Federal Emergency Management Agency) per l’applicazione dell’impalcato rigido ha comunque consigliato l’aumento dello spessore dell’impalcato di 35-40 cm e l’introduzione di fasce piene di calcestruzzo armato che proseguissero fino alla trave successiva e che non si fermassero all’interno dell’impalcato (vedi fig. 5, parti tratteggiate in rosso). 

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Figura 5 

Fortunatamente la tecnologia ha fatto passi da gigante ed oggi è possibile calcolare strutture in tempi brevi, con metodi di calcolo più sofisticati in grado di modellare l’effettiva rigidezza dei solai nel loro piano nonché la loro risposta ortotropa, fornendo, allo strutturista una soluzione più vicina alla reale risposta strutturale. 

Nell’esame delle strutture in campo non lineare, oggi nonostante la grande crescita delle apparecchiature informatiche per applicazioni scientifiche, ci troviamo come ci trovavamo per l’analisi lineare subito dopo la pubblicazione del DM LL.PP. 26 gennaio 1986, le apparecchiature sono insufficienti per operare in tempi accettabili, dando al progettista la possibilità di scegliere le due ipotesi, di impalcato rigido e di impalcato deformabile. 

Quindi un’eccezione, al non utilizzo di tali procedure semplificative, è costituita dall'analisi di spinta o di pushover, un metodo proposto anche dalle nuove Norme Tecniche sulle Costruzioni per lo svolgimento di analisi statiche non lineari. Il metodo consiste nell'applicare una distribuzione di forze via via crescenti sulla struttura, in modo da studiare, tramite il monitoraggio di un punto di controllo (solitamente corrispondente con il centro delle masse di un impalcato e, dunque, non individuabile con uno dei nodi della struttura), la sua risposta in termini elasto-plastici fino al raggiungimento del collasso. Tale risposta pertanto, deve essere ottenuta tenendo conto sia degli effetti di non linearità sia eventualmente degli effetti di secondo ordine. Si tratta di un approccio fortemente innovativo poiché consente analisi di tipo prestazionale delle costruzioni.  Nel caso, però, di strutture del tutto prive di impalcati rigidi, tale tecnica non è più direttamente applicabile in quanto non è più possibile individuare uno spostamento di un punto fisico rappresentativo del moto d’insieme della massa strutturale. 

Concludendo credo sia opportuno fare le seguenti considerazioni: 

L’impalcato rigido ha avuto il compito di consentire l’avvicinamento al vero agli strutturisti e dunque di poter effettuare calcolazioni tridimensionali con mezzi informatici poco potenti. Le ipotesi assunte se rispettate porteranno a dei risultati certamente validi.

Oggi la crescita delle apparecchiature informatiche ed il continuo sviluppo delle soluzioni scientifiche e matematiche, consente di applicare la soluzione che può essere considerata la più corretta grazie all’accortezza di rendere le membrane dei solai compressibili alle azioni orizzontali oppure di modellarne numericamente la rigidezza delle stesse alle azioni orizzontali delle membrane. 

Volendo calcolare analiticamente l’entità delle rigidezze della lastra ortotropa che rappresenterà il comportamento di un solaio a nervature parallele, in direzione parallela alle nervature e due poi nella direzione ortogonale alle nervature, applicheremo l’elemento finito lastra ortotropa e manipoleremo il modulo di elasticità nella direzione parallela alle nervature per considerare la superfice maggiore di calcestruzzo.

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A seguire nell'articolo > Confronto tra i risultati ottenuti con i differenti approcci alla modellazione dei solai in c.a. Misto a laterizi