Normativa vs meccanica computazionale: il caso del taglio negli elementi in calcestruzzo armato

Vogliamo, in queste note, mettere a confronto le formule algebriche che la normativa impone, con le soluzioni computazionali che sono necessarie se si vuole avere un approccio “digitale” alla progettazione, come oggi va di moda dire. 

Analisi del caso emblematico del taglio negli elementi in calcestruzzo armato

Prenderemo uno dei casi che ci paiono più eclatanti: il taglio negli elementi in calcestruzzo armato.

Consideriamo la formulazione del taglio per elementi armati in calcestruzzo e soffermiamoci sulla formula per il taglio ultimo del calcestruzzo prevista dalla normativa (NTC 2018). 

Sintetizziamola per poter più agevolmente ragionarci. I termini α_c e ν modificano la tensione tangenziale limite. Le inclinazioni α e θ sono legate al meccanismo resistente porremo quindi, per sintetizzare:

Otterremo

0,9 d b_w τ_R > V_Ed

La sintetizzazione dei termini l'abbiamo impiegata per favorire la visualizzazione di ciò che i termini rappresentano.
Se ora scriviamo la precedente espressione nel seguente modo:

ritroviamo una espressione che conosciamo bene in quanto il secondo termine non è altro che la tensione tangenziale di progetto τ_D. Quindi torniamo al desueto τ_R  > τ_D. Il termine τ_R è dato dalla normativa quindi il problema centrale è il calcolo di τ_D.

Il calcolo della tensione tangenziale di progetto

L'espressione suggerita dalla normativa per il calcolo della tensione tangenziale è molto “naive”. Infatti è applicabile solo a sezioni dove abbiano senso una larghezza e una altezza, e lo 0,9 è un termine molto approssimato. Inoltre se il taglio non agisce secondo uno degli assi principali non è applicabile.
Quindi in un “moderno” approccio, per di più computazionale, occorre ricorrere a metodi più sofisticati.

La formula di Jourawski

Dimitri Ivanovich Zhurawskii, più comunemente Jourawski, (1821-1891) nel 1855 vinse il premio Demidov messo in palio dall'Accademia delle scienze per la sua notissima formula per il taglio. Vediamo la formulazione di Žurawski che, per non sembrare snob, chiameremo Jourawski nella traduzione abituale. Ricordiamo la formula di Jourawski:

τ=VS/bJ

E' dalla ipotesi di Jourawski che deriva la nota espressione che coinvolge il “braccio delle forze interne” z:

z=S/J=0,9 d

dove S è il momento statico di una parte della sezione divisa dalla corda e J il momento d'inerzia dell'intera sezione. Si è poi ritenuto di valutare il valore z = 0,9 d che nei vecchi testi di tecnica delle costruzioni era definito “un primo approccio” ma nella normativa questa approssimazione diviene legge.

Una nota di colore sul misterioso 0,9. Il misterioso 0.9 del quale numero magico non ci si dà la pena di rendere ragione, ha radici addirittura nel "metodo n" di omogeneizzazione delle sezioni. Metodo piuttosto "retro" ma che evidentemente non ci si scandalizza di ritirar fuori ponendolo al fianco di "modernissimi" altri metodi.
Il famigerato 0.9 deriva dalla relazione:

dove z_c è l'altezza della zona reagente del calcestruzzo e si ottiene con semplici similitudini di triangoli, pertanto il braccio delle forze interne risulta

d - d z_c/3 = d (1 - z_c/3)

Con un esempio, posto che si desideri che il calcestruzzo lavori a 9 MPa e l'acciaio a 280 MPa, assumendo n=15, si avrà:

e pertanto           1 - z_c/ 3 = 0.89.

Andiamo avanti.

Jourawski [1] parte dalla seguente relazione (figura 1).

L'ipotesi o, meglio, l'idea di Jourawski è quella di considerare una τ media uniforme lungo la corda per cui il secondo membro diviene semplicemente τ b.Se ora esprimiamo il differenziale al primo membro in differenze finite, otteniamo:

Le tensioni σ₁ e σ₂ sono le tensioni sulle due sezioni a distanza dx e queste tensioni si ottengono facilmente tramite l'analisi non lineare delle due sezioni 0 e 1 a distanza dx.

Figura 1

Occorre ancora un passo per trasformare il problema in un problema numerico: risolvere numericamente l'integrale. L'integrazione numerica sul contorno della parte interessata della sezione si può fare in vari modi: trapezi, triangolazione ma noi preferiamo una integrazione di Gauss-Green [2] sul contorno poligonale monoconnesso che descrive la sezione.

Con questo approccio si ottiene una soluzione generale applicabile ad ogni sezione e con il taglio comunque diretto e, last but not least, si tiene conto correttamente dell'azione assiale per cui, a nostro avviso, anche l'approssimato uso del termine υ è correttamente risolto. Va inoltre notato che l'andamento delle tensioni nella sezione non è lineare perché non lo è il legame costitutivo del calcestruzzo per cui l'integrazione numerica suddetta è la più indicata.

Figura 2

Figura 3

Figura 4

In EasyBeam, l'ambiente di Nòlian All-In-One per la progettazione di elementi monodimensionali in calcestruzzo, viene impiegato questo metodo dal 1992 e quindi è un metodo sperimentato sul campo e molto professionale in quanto libera il progettista da incertezze di procedura, cosa che in effetti gli strumenti informatici dovrebbero sempre fare. Nelle figure precedenti (figgure 2, 3, 4) vediamo l'andamento delle tensioni tangenziali in una trave dove non è possibile definire una “base” soggetta a taglio “deviato”. Vediamo poi il diagramma di resistenza a taglio di una sezione rettangolare e, per finire, vediamo come in una sezione tutta compressa l'andamento delle tensioni assuma la nota forma caratteristica a parabola.

La Softing impiega metodi di meccanica computazionale non solo nelle funzioni di analisi ma anche di verifica e progetto di membrature strutturali fornendo soluzioni professionali e non solo burocratiche.

Sarebbe interessante condurre uno studio rigoroso sull'approssimazione insita dalla formulazione di normativa. Per travi non soggette a rilevante sforzo assiale e con asse neutro non in posizioni estreme e, naturalmente solo rettangolari e con taglio non “deviato” l'approssimazione è accettabile, si discosta invece di valori sensibili se queste condizioni non si verificano. Un problema diremmo “deontologico” che si pone è che, come in epoche buie, il valore della formula di normativa, per discutibile che sia, è legge mentre qualsiasi altro metodo, anche strabiliante, non ha forza di legge. Che fare? È un problema più importante di quanto si creda perché indirizza la “digitalizzazione” in una direzione algebrizzante e non computazionale.

Si può dimostrare matematicamente [3] come le regole impediscano l'evoluzione dei sistemi complessi generando “tensioni” che poi sfociano in salti bruschi del sistema. Nei sistemi sociali se non vi è evoluzione vi sono le rivoluzioni. Quindi chi scrive è contrario ai metodi imposti per legge: si possono imporre limiti, non metodi.

Chi volesse impiegare queste analisi sezionali, le può trovare anche nella versione FreeLite di All-In-One, gratuita, scaricabile dal sito Softing.

Riferimenti

• 1] Barry J, Goodno, James M. Gere, Mechanics of Materials, Cengage Learning, 2016
• [2] Washeck F, Pfeffer, The Gauss-Green theorem, Advances in Mathematics, Vol. 87, May 1991
• [3] R. Spagnuolo, Evoluzione dei sistemi complessi e regolamentazione, Franco Angeli, 2016