Problemi di non linearità di colonne snelle in calcestruzzo armato: nuovi Modelli di Calcolo

Le azioni interne di elementi presso-inflessi sono determinate dall’analisi strutturale che in genere è basata sulla geometria della struttura indeformata.

Per elementi snelli soggetti a rilevanti azioni assiali di compressione, questa procedura non è conservativa ed è necessario tenere in conto gli “effetti P-Δ” o “effetti del secondo ordine”. In questo lavoro si è formulato un elemento finito di Eulero Bernoulli basato su funzioni di forma Hermitiane che ingloba gli effetti P-Δ attraverso l’accoppiamento della matrice di rigidezza geometrica a quella di rigidezza elastica.

Le non linearità meccaniche sono tenute in conto attraverso un approccio a inelasticità distribuita, chiamata in letteratura “Spread plasticity”. I primi risultati su elementi singoli hanno evidenziato un buon accordo con quelli derivati dalla applicazione di metodi di calcolo più raffinati, ad esempio quello delle differenze finite, ad un costo computazionale nettamente più contenuto.


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Articolo presentato in occasione degli Italian Concrete Days 2018 di aicap e CTE. 

Ecco le informazioni per partecipare agli Italian Concrete Days 2020 di aicap e CTE a Napoli


A new numerical procedure for the nonlinear effects implementation in RC slender columns

Una nuova procedura numerica per l’implementazione degli effetti delle non linearità di colonne snelle in calcestruzzo armato

V. Valotta1, F. Mola2, S. Caddemi3

  • 1 ECSD srl, Milan, Italy
  • 2 Department of Architecture, Built Environment and Construction Engineering, Politecnico di Milano, Milan, Italy
  • 3 Department of Civil Engineering and Architecture, University of Catania, Catania, Italy

1 Introduzione

1.1 Elementi snelli in calcestruzzo armato

Le azioni interne di elementi presso-inflessi sono determinate dall’analisi strutturale che in genere è basata sulla geometria della struttura indeformata.

Per elementi snelli soggetti a rilevanti azioni assiali di compressione, questa procedura non è conservativa.

Infatti l’applicazione dei carichi esterni produce un cambiamento di geometria, dovuto al deformarsi della struttura, e ad un conseguente cambiamento dell’entità delle azioni interne.

Quanto descritto viene in genere definito sotto il nome di “effetti P-Δ” o “effetti del secondo ordine”.

Si prenda in esame una mensola rettilinea a sezione variabile, di altezza H, soggetta ad un carico verticale P parallelo all’asse della mensola, applicato alla sua sommità con una eccentricità e0 come mostrato in Figure 1.

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L’equazione differenziale che governa il problema non lineare sia per geometria che per materiale è della forma:

EI(x,v'')v''(x)+Pv(x) = P(eo+a)  (1)

dove si è indicato col termine EI (x, v'') la rigidezza flessionale della generica sezione trasversale, funzione della curvatura v''(x).

L’equazione differenziale (1) è non lineare per via della dipendenza dalla curvatura della rigidezza flessionale ed è pertanto risolubile solo per via numerica quando è noto il legame sezionale al primo membro.

Al variare della snellezza dell’elemento si possono individuare due differenti modalità di collasso:

  • un collasso per tensioni normali, con raggiungimento della capacità portante ultima della sezione più sollecitata;
  • un collasso per instabilità, con raggiungimento della capacità portante ultima dell’elemento prima della crisi per tensioni normali della sezione più sollecitata.

Appare evidente dalla (1) che lo studio del comportamento di elementi snelli soggetti a carichi di compressione eccentrici costituisce un problema di difficile risoluzione, dovendosi simultaneamente tener conto della non linearità meccanica e geometrica del problema.

1.2 Metodi risolutivi

Per elementi singoli vincolati isostaticamente alle estremità è possibile utilizzare metodi di discretizzazione del dominio di integrazione ad esempio il metodo delle differenze finite.

Uno degli strumenti di verifica più utilizzati nella pratica professionale in questo genere di problemi è il metodo della colonna modello (Migliacci & Mola 1985).

Tale metodo, introducendo l’ipotesi di distribuzione sinusoidale degli spostamenti trasversali, permette di derivare un legame di linearità fra lo spostamento massimo di sommità e la curvatura della sezione di base, riconducendo il problema di analisi strutturale a quello più semplice di analisi sezionale.

La soluzione della (1) richiede la preventiva conoscenza dei diagrammi momento-curvatura delle sezioni trasversali dai quali dedurre la rigidezza flessionale lungo l’asse x.

In presenza di elementi a sezione variabile per geometria e quantitativi di armatura l’impegno computazionale necessario risulta alquanto oneroso.

2 FORMULAZIONE DELL’ELEMENTO FINITO

2.1 Introduzione

Lo studio delle equazioni differenziali che regolano la statica delle travi in regime elastico è di notevole interesse in numerosi ambiti.

Ad esempio, nel caso dello studio di elementi strutturali caratterizzati da brusche variazioni di sezioni o di tipo non prismatico può essere conveniente conoscere la soluzione per un certo tipo di carico. Un altro esempio è quello dell’identificazione del danno su strutture esistenti, dove una variazione concentrata della rigidezza flessionale di un elemento deve essere quantificata mediante un approccio inverso.

In tutti questi casi l’uso delle funzioni generalizzate conduce a soluzioni di grande interesse pratico sia per la trave di Eulero-Bernoulli (che diremo nel seguito EB) sia per quella di Timoshenko.

In questo lavoro si è formulato un elemento finito di EB basato su funzioni di forma Hermitiane che ingloba gli effetti P-Δ attraverso l’accoppiamento della matrice di rigidezza geometrica a quella di rigidezza elastica.

Le non linearità meccaniche sono tenute in conto attraverso un approccio a inelasticità distribuita, chiamata in letteratura “Spread plasticity” (Kunnath & Reinhorn 1989), che a sua volta si basa sull’utilizzo delle funzioni generalizzate per risolvere equazioni differenziali (Valotta 2017).

2.2 La trave di Eulero Bernoulli con discontinuità multiple

In linea generale sussistono due tipi di discontinuità che si possono presentare nello studio delle equazioni differenziali di una trave; l’utilizzo della funzione gradino di Heaviside riproduce un modello con discontinuità di rigidezza flessionale che conduce a discontinuità di curvatura; l’utilizzo della funzione Delta di Dirac nella rigidezza flessionale conduce invece a discontinuità di rotazione.

Uno dei lavori più completi condotti sulle travi con discontinuità è dovuto a Biondi e Caddemi (Biondi & Caddemi 2005).

In tale lavoro sono risolte le equazioni differenziali della trave di EB con singola discontinuità soggetta ad una arbitraria distribuzione di carico.

Successivamente i due autori hanno esteso la trattazione al caso di più discontinuità (Biondi & Caddemi 2007) dove si propone la soluzione in forma chiusa in elasticità lineare per un numero arbitrario di discontinuità senza bisogno di imporre le classiche condizioni di continuità nelle sezioni di passaggio.

...

L'ARTICOLO COMPLETO E' DISPONIBILE IN ALLEGATO


KEYWORDS: P-Δ effects; second order effects; slender elements; spread plasticity approach / Effetti P-Δ; effetti del secondo ordine; elementi snelli; approccio a plasticità diffusa


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