Il metodo dell’Arc Length per analisi FEM in presenza di non linearità di materiale

Nell’ambito dell’ingegneria delle strutture esiste una vasta casistica di elementi a comportamento non lineare: dai controventi in acciaio reagenti a sola trazione, alle molle rappresentative del terreno reagenti a sola compressione, fino ad arrivare a vere e proprie leggi costitutive elasto-plastiche per calcestruzzo, acciaio e muratura.

Da un punto di vista numerico questo significa che la risposta del materiale non può più essere predetta da un unico parametro (la pendenza di una retta nel piano sforzo/deformazione), bensì può essere simulata solo seguendo passo passo la relazione tra queste due grandezze.

A sua volta questo implica il passaggio ad un’analisi incrementale (sia essa statica sia dinamica) in cui, ad ogni incremento di carico, appropriati algoritmi risolutivi devono essere adottati al fine di ripercorrere il più fedelmente possibile la curva (non più una retta) rappresentativa del comportamento intrinseco del materiale.

In questo articolo, forniremo un approfondimento sul metodo dell’Arc Length per l’analisi FEM (acronimo di Analisi agli elementi finiti) in presenza di non linearità di materiale.

 

Analisi agli elementi finiti non lineare: i metodi

Nell'analisi agli elementi finiti non lineare, è ampiamente utilizzato il metodo incrementale (o iterativo) tradizionale Newton-Raphson (NR). Tuttavia, uno suo notevole svantaggio è che, senza il supplemento di tecniche numeriche speciali, non può essere colta una perdita di resistenza post-picco (comportamento softening). A causa della sua formulazione, infatti, il metodo di Newton-Raphson non è una buona scelta nei casi in cui la matrice di rigidità della struttura non sia puramente definita positiva, ostacolando l'analisi in problemi che mostrano instabilità sotto forma di perdita di rigidezza del materiale.

Per superare questo tipo di difficoltà, spesso, il metodo NR è accompagnato da strategie numeriche di diversa natura: metodi di inversione tra controllo di carico e di spostamento (Sabir e Lock, 1972), molle fittizie (Wright e Gaylord, 1968), abbandono delle iterazioni di equilibrio nelle immediate vicinanze del picco (Bergan e Soreide, 1978; Bergan et al., 1978), o riduzione del carico (Cope e Rao, 1981; Bergan e Holand, 1979; Crisfield, 1982; Phillips e Zienkiewicz, 1976). Tuttavia, queste tecniche di solito richiedono grande cura nella gestione delle opzioni di analisi e non sempre sono in grado di fornire risultati soddisfacenti. 

Il metodo dell’Arc Length (AL), o anche comunemente chiamato "Metodo di Riks modificato", è una potente tecnica numerica per la risoluzione di sistemi di equazioni non lineari. Introdotto come estensione geometrica del suddetto metodo di Newton-Raphson, l’Arc-Length può contribuire efficacemente alla risoluzione di sistemi di equazioni altamente non lineari in modo efficiente e accurato, anche laddove NR fallisce.

Originariamente sviluppato da Riks (1972, 1979) e Wempner (1971) e successivamente modificato da Ramm (1981) e Crisfield (1981 ,1982a, 1983, 1984) [1], l’Arc Length è il metodo più potente attualmente proposto dal mondo accademico per riprodurre fedelmente le relazioni tenso-deformative non lineari; è inoltre universalmente accettato come la tecnica numerica più adeguata ad evitare punti di biforcazione e tracciare lo scarico post-picco.

Il metodo AL fa sì che le iterazioni all'equilibrio di Newton-Raphson convergano lungo un arco, come si può efficacemente vedere in questo filmato [2], impedendo così spesso la divergenza, anche quando la pendenza della curva di carico rispetto alla deflessione diventa zero o negativa (fenomeno dello snap-back o snap-through) Figura 2. 

 

arc_lenght_harpaceas_01.jpgFigura 1 - Rappresentazione grafica dei fenomeni dello Snap Through e Snap Back

 

Il metodo dell’Arc-Length è implementato nei più importanti software commerciali agli elementi finiti attualmente sul mercato: ricordiamo ad esempio Midas Gen, programma di punta della software house coreana Midas IT.

Ma, affinché queste complesse procedure numeriche siano rese usufruibili anche all’esterno del mondo accademico, è necessario prima di tutto mettere l’Utente in condizioni di poter gestire in modo semplice ed intuitivo le opzioni di analisi, lasciando al software l’onere di gestire, tramite opportuni valori di default, quegli aspetti più prettamente matematici che esulano dalle competenze specifiche del Professionista.

Midas GEN è il software per la modellazione, l’analisi e la verifica di strutture (esistenti e nuove costruzioni) più completo sul mercato nel settore del calcolo strutturale. All’interno del software sono disponibili, inoltre, verificatori per strutture in acciaio e calcestruzzo.

È un prodotto conforme alle NTC 2018 e relativa circolare e dispone anche di verifiche di elementi in CA ed acciaio in accordo alle principali normative internazionali. 

Midas Gen, ad esempio, propone la finestra di Figura 2 per la definizione dei parametri principali, che indirizzino l’algoritmo Arc Length verso la risoluzione del sistema non lineare in esame.

 

arc_lenght_harpaceas.jpgFigura 2 - Parametri per l’impostazione dell’algoritmo Arc Length in Midas Gen

 

Il metodo dell’Arc-Length in Midas Gen

Si esaminano di seguito in dettaglio le opzioni che Midas Gen lascia in capo all’Utente.

Prima di tutto, è possibile utilizzare la tecnica dell’Arc Length sia in presenza di non linearità intrinseche del materiale (come finora descritto), sia per non linearità di tipo geometrico. È altresì possibile un accoppiamento delle due situazioni.

Il numero di step rappresenta solo un limite superiore, in quanto il numero strettamente necessario è automaticamente calcolato dall’algoritmo, che interrompe il ciclo nel momento in cui il residuo risulti sufficientemente basso (soglia determinata in automatico dal programma sulla base del problema in esame).

Riguardo il numero massimo di iterazioni all’interno di ogni singolo step, valgono le stesse considerazioni che si potrebbero fare per Newton-Raphson, come per qualunque altra metodologia, e cioè: generalmente i software commerciali propongono un numero che si aggira intorno a 20-30 iterazioni, che è in genere sufficiente a permettere la convergenza se il problema è ben posto; risulta solitamente non utile incrementare tale valore, poiché un settaggio superiore difficilmente porterebbe al rispetto della tolleranza e, se pur lo facesse in quello step, probabilmente non risulterebbe nuovamente sufficiente in quello successivo.

In sostanza: se l’algoritmo ha bisogno di più di 30 iterazioni per ridurre il residuo, allora significa che probabilmente le condizioni di carico, vincolo e/o il legame costitutivo, non sono tali da soddisfare l’equilibrio.

Scendere sotto le 20/30 iterazioni, al contrario, potrebbe risultare troppo restrittivo. 

Il parametro Initial Force Ratio for Unit Arc Length (%): per comprenderne appieno il significato, bisogna esaminare la rappresentazione della procedura nel piano Spostamento normalizzato (a) vs. Incremento di carico (λ) in Figura 3.

 

arc_lenght_harpaceas_03.jpgFigura 3 - Procedura rappresentativa del metodo Arc Length

 


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BIBLIOGRAFIA

 [1] N. Lafontaine, X. Wang, K. Huang, M. Yuan and E. Oñate, On the arc length method: combining ideas and implementations aspects, (2013). Research Report, Nº PI399 

[2] Nonlinear Analysis of Structures: The Arc Length Method, Nikolaos VasiosPhD Student, Materials Science & Mechanical Engineering Email Address: vasios@g.harvard.edu