Lo schema a telaio non si adatta al comportamento sismico della muratura: proposta di un nuovo modello di calcolo

La dimostrazione dell’inapplicabilità alla muratura dello schema di calcolo a telaio di pilastri e travi, considerati come solidi monolitici alla De Saint Venant, porta ad un nuovo metodo di calcolo che, atteso quanto dimostrato, considera i pannelli murari come composti da filari verticali di pietre affiancati, collegati tra loro dalle pietre poste a cavallo degli stessi, per effetto dello sfalsamento dei giunti verticali.

Il presente articolo è una versione ridotta di quello pubblicato al Convegno Nazionale dell’ANIDIS 2019.

 

Gli studi del prof. A. Giuffrè sul comportamento di pannelli in muratura soggetti ad azioni orizzontali

Negli anni ’80 il prof. A. Giuffrè ha sviluppato degli studi e delle sperimentazioni sul comportamento di pannelli in muratura soggetti ad azioni orizzontali. Il risultato più significativo è che nel collasso a pressoflessione non si ha una rotazione rigida monolitica intorno ad una cerniera alla base, così come ipotizzano le attuali norme NTC 2018, ma il ribaltamento di solo una porzione del pannello, con resistenza inferiore a quella di normativa e che dipende peraltro dalla dimensione delle pietre: a pietre più lunghe corrispondono resistenze maggiori.

Nel caso di due o più setti, separati da aperture, può accadere che un setto si lesioni per l’intera altezza, senza che vi siano meccanismi di piano, e di conseguenza viene a mancare sia l’ipotesi di comportamento a telaio che quella della monoliticità del setto, che è la condizione minima che dovrebbe essere verificata per pensare di poter applicare la teoria della trave.

Tali comportamenti portano a concludere che i pannelli non possono essere considerati come monolitici, con comportamento alla De Saint Venant, per cui non è possibile sostituire un pannello con il suo asse, nell’ambito di uno schema a telaio, così come indicato dalla normativa e come considerato da tutti i software commerciali attualmente utilizzati. Il prof. A. Giuffrè, non essendo riuscito a giustificare i risultati sperimentali ottenuti con un calcolo analitico, ha proposto per la verifica nel piano, il metodo cinematico, secondo la teoria dell’analisi limite, che consiste nell’individuare le probabili linee di rottura di setti e fasce e quindi le porzioni murarie che alla fine vanno a costituire un cinematismo.

Tale approccio, pur essendo stato inglobato nelle NTC 2008 e 2018, principalmente per le verifiche fuori piano, ma il cui uso è permesso, in alcuni casi, anche per la verifica nel piano, presenta tuttavia il problema della scelta delle porzioni murarie che partecipano al cinematismo, scelta che può diventare abbastanza difficile ed aleatoria, visto l’alto numero dei cinematismi possibili. Le NTC in generale suggeriscono comunque l’approccio classico che consiste nel calcolo di un telaio costituito da setti e travi in muratura, visti come solidi monolitici, cui può applicarsi la teoria della trave. 

 

Dimostrazione dell’inapplicabilità della teoria della trave ad un setto murario

In primo luogo si può valutare la validità dell’ l’ipotesi di monoliticità, con un semplice ragionamento qualitativo basato sul criterio di fascia: se le pietre avessero la lunghezza dell’intero setto allora senz’altro l’ipotesi sarebbe verificata e nel collasso a pressoflessione si avrebbe una rotazione monolitica dell’intero setto, mentre nel caso limite opposto di un muro costituito da filari verticali affiancati privi di collegamento reciproco, situazione a cui ci si può avvicinare nel caso delle murature dei centri storici aventi costituite spesso da pietre piccole e giunti non ben sfalsati in verticale, l’ipotesi sarebbe senz’altro non verificata e la resistenza a pressoflessione del pannello si ridurrebbe a quella del singolo filare verticale con la conseguenza che le formule di resistenza a pressoflessione e taglio di normativa non avrebbero più alcuna validità.

In generale quindi può dirsi che nel generico setto, in base alla dimensione delle pietre ed alla lunghezza di sfalsamento dei giunti verticali, ci si può al massimo avvicinare all’ipotesi di solido omogeneo alla De Saint Venant, ma a rigore il comportamento sarà intermedio tra i due casi limite suddetti, per cui l’ipotesi di normativa non sarà del tutto valida.

Si può poi arrivare ad una dimostrazione matematica, dell’inapplicabilità della Teoria della trave ai setti murari, facendo una semplice verifica a scorrimento longitudinale, verifica che è obbligatoria per tutti i tipi di materiali, ma che per la muratura, non si sa perchè, non si è mai pensato di dover fare.

 

Lo schema a telaio non si adatta al comportamento sismico della muratura: proposta di un nuovo modello di calcolo

Fig.1. Nuovo schema di calcolo

A tale scopo si considera lo schema statico di fig. 1, costituito da filari verticali adiacenti connessi dalle pietre con giunti sfalsati, poste a cavallo degli stessi. Per semplificare i calcoli si sono considerati conci tutti uguali, disposti in maniera regolare.

In tale schema lo sforzo di scorrimento verticale che nasce tra filari contigui è pari al carico verticale che va a gravare all’interfaccia dei filari, in corrispondenza delle pietre di collegamento, grazie al fatto che, in presenza di azioni sismiche, il carico sovrastante si inclina (fig. 2).

nuova proposta di uno schema di calcolo per le strutture in muratura

Fig.2- Le due aree tratteggiate in nero indicano le zone di muratura il cui peso va a gravare sulle pietre rosse di collegamento tra i filari, nei 2 casi

 

Ricavando le espressioni generali dello sforzo di scorrimento in verticale sia nel caso di comportamento a solido omogeneo, secondo la teoria della trave, che per lo schema statico proposto, si arriva alla conclusione che sarebbero necessari carichi verticali maggiori perchè lo sforzo di scorrimento fosse almeno uguale a quello previsto dalla Teoria della trave.

Se lo sforzo di scorrimento sopportabile è inferiore, come si sa dalla Scienza delle costruzioni, le sezioni non conserverebbero la planarità, le formule a flessione non sarebbero più valide ,ed a questo punto, come per una sezione composta acciaio-calcestruzzo con connettori eccessivamente deformabili, non si potrebbe considerare la trave come monolitica ma bisognerebbe considerare una struttura composta da due travi collegate tra loro dai connettori e quindi non più riducibile all’asse della struttura composta.

In particolare, secondo lo schema di fig. 2, lo sforzo di scorrimento agente per una lunghezza pari al doppio dell’altezza della pietra è pari al peso di muratura che va a gravare su tale lunghezza, che può essere calcolato con semplici equazioni di equilibrio alla traslazione verticale, una volta che si consideri che, come detto, per effetto delle azioni orizzontali, il flusso dei carichi verticali si inclina andandosi a trasmettere da un filare verticale a quelli adiacenti. È chiaro che la trasmissione di tale carico è possibile perché nella zona di contatto tra i due filari, quello a valle tende a sollevarsi rispetto a quello a monte.

In base alle considerazioni fatte, nel caso di pietre dell’altezza di 20 cm e di distribuzione proporzionale alle masse delle azioni sismiche, si possono avere i due casi riportati in figura 2, nel calcolo dello scorrimento, a seconda della posizione del filare nel setto.

Uno è relativo al caso in cui h*ag <= α*L, dove α rappresenta la percentuale della lunghezza del setto in cui è posizionato il filare, e l’altro è quello per cui h*ag >α*L.

Poiché nel primo caso si hanno sforzi di scorrimento maggiori che nel secondo, come si vede dalla figura 2, basterà considerare solo il primo dei due per dimostrare quanto sopra detto. Si è quindi ricavata l’espressione generale dello sforzo di scorrimento, relativa al primo caso, che è pari a:

S (40) =0,4*ag*s*γ*h-0,08*ag*s*γ

dove:

s è lo spessore del setto

γ il peso specifico della muratura

ag l’accelerazione sismica/g

h l’altezza del setto gravante sulla pietra di base

Nel caso di solido omogeneo invece, secondo la trattazione approssimata, si ha:

T = γ*s*h*L*ag

τ = T/s* Sx/Ix = T*6*α (1-α)/(s*L)

S (40) =τ*s*0,4 = 2,4*α(1-α)*s*γ*ag*h (2)

dove:

β rappresenta l’aliquota della lunghezza totale L del setto in corrispondenza della quale si calcola lo scorrimento.

Eguagliando l’espressione (1) alla (2) e portando quest’ultima a primo membro, si ottiene un’equazione di 2° grado in α. 

Facendo le opportune considerazioni (vedere testo completo dell’articolo) alla fine si vede che al variare dell’altezza del setto, considerando anche la presenza di un carico distribuito in testa e variando l’altezza delle pietre, si ricava che la teoria della trave non è applicabile nella zona centrale del setto, di ampiezza pari al 60% della sua lunghezza, poiché lo sforzo di scorrimento cui dà luogo sarebbe maggiore di quello che si ha grazie alle pietre di collegamento di due filari contigui. In definitiva quindi un setto murario non si comporta come un solido omogeneo cui può applicarsi la teoria della trave e quindi lo schema statico possibile è quello di filari affiancati collegati a taglio dai conci posti a cavallo degli stessi. Facendo un’analogia con un tipo di struttura ben nota, si potrebbe dire che il comportamento di un pannello murario è simile a quello di una trave Vierendel, in cui i due correnti(filari) sono collegati a flessione e taglio dagli elementi verticali (pietre sfalsate rispetto ai filari).

 

Lo schema di calcolo proposto per il pannello murario

Lo schema di calcolo che si propone per il generico pannello è quindi quello sopra visto in figura 1.

Oltre a quanto precedentemente indicato, si può dire che lo schema che può effettivamente verificarsi è quello in figura 3, con filari aventi altezze variabili, poiché, al di sotto della linea rossa, le forze inclinate dovute alle azioni sismiche ed al peso proprio possono essere trasmessi alla fondazione per semplice compressione della muratura per cui il comportamento a pressoflessione e taglio è limitato alla parte superiore.

Inoltre è evidente che, essendo nulla la resistenza a trazione, il ribaltamento della parte superiore come corpo monolitico è il limite superiore di resistenza a “pressoflessione” che il muro può avere, contrariamente a quanto indicato dalle NTC 2018 che tengono conto del peso dell’intero muro.

Schema di calcolo per le fasce murarie tra le aperture 

 Un altro problema che sorge volendo applicare la teoria della trave alle murature è quello relativo al comportamento delle fasce di muratura tra due aperture, chiamate dalla normativa “travi in muratura”.

In tal caso non risulta facile dimostrare che tali “travi” non possano avere in generale un comportamento alla De Saint Venant. Tuttavia già le NTC 2008 sostanzialmente consentivano un calcolo a telaio senza tener conto di tali elementi, probabilmente per le incertezze legate al loro effettivo comportamento. Inoltre spesso accade che facendo tale calcolo si ha il risultato che le travi raggiungono la rottura molto prima dei setti, per cui si arriva in ogni caso allo schema di setti isolati.

 In effetti considerando gli spostamenti flessionali dei due setti ai lati della fascia si ha che una parte della fascia si solleva seguendo il setto a valle mentre l’altra si abbassa. Tale differente spostamento non può essere impedito poich è le due parti sono separate dalla “lesione” naturale scalettata che segue i giunti verticali ed orizzontali tra le pietre, come in fig. 3, per cui gli sforzi di pressoflessione e taglio indicati dalla normativa potrebbero effettivamente aversi solo se tale “lesione” riuscisse a coprire l’intera lunghezza della fascia, cosa in generale non valida.

Schema di calcolo proposto con filari verticali di altezza variabile

Fig.3. Schema di calcolo proposto con filari verticali di altezza variabile

Si può quindi considerare uno schema alternativo per le “travi in muratura” in base al quale, in presenza di una piattabanda rigida e resistente, queste sostanzialmente riescono ad offrire un collegamento a taglio tra i setti contigui, sempre grazie al fatto, come per i filari verticali di conci, che il bordo del setto a valle tende a sollevarsi di più di quello a monte (vedi fig. 4).

 

Schema di calcolo della fascia tra le aperture

Fig. 4. Schema di calcolo della fascia tra le aperture

La piattabanda può opporsi a tale spostamento, assieme alla porzione di muratura soprastante, trasmettendo una forza verticale F1, diretta verso il basso, al setto a valle, e come si vedrà, un momento stabilizzante al setto a monte, come indicato in figura 6, secondo uno schema di funzionamento simile a quello delle mensole tozze in c.a. od acciaio.

Tale sforzo deriva dal fatto che il carico verticale R, agente all’interfaccia tra “trave” e filare verticale del setto a monte, può trasmettersi alla piattabanda e quindi in parte al setto a valle, per effetto delle suddette differenze di spostamento tra i setti, che fanno sì che una porzione della “trave in muratura” sia sollecitata a compressione.

Tale compressione viene contrastata dalla forza R suddetta. In genere tale sforzo è significativo poiché, per effetto del meccanismo di taglio tra filari, l’ultimo filare del setto a monte è soggetto a carichi di compressione maggiore rispetto agli altri (sarebbe la zona sollecitata maggiormente a compressione anche in uno schema a trave). 

Si nota che la zona della fascia che può risultare compressa dipende dall’inclinazione massima con cui la muratura può trasmettere taglio, data dal rapporto tra la metà della lunghezza di una pietra e la sua altezza, e ciò è dall’inclinazione della “lesione” scalettata e dall’altezza della fascia stessa.

Oltre tale inclinazione, le due porzioni di fascia muraria, da essa stessa individuate, possono avere spostamenti verticali diversi, come già visto. In definitiva per i motivi sopra detti, la forza R potrà trasmettersi al massimo nel punto indicato in figura 6, a distanza L2 dal setto a monte.

Se si considera la fascia incastrata nel setto a monte, secondo lo schema in figura 6, dall’equilibrio alla rotazione della fascia più la piattabanda, si ottiene che la forza F1=R*L2/L fa nascere un momento d’incastro M pari a R*L2, stabilizzante per il setto a monte. In base a tale schema si ha che la forza F1 ed M sono tanto più grandi quanto più è alta la fascia e quanto maggiore è il rapporto tra lunghezza e altezza delle pietre.

Il momento M d’incastro, in prima approssimazione, si può considerare equilibrato dal setto a monte da una forza di compressione nella parte alta della fascia ed una di trazione all’appoggio della piattabanda. Tale trazione può essere contrastata dalla resistenza allo scorrimento, anche per il fatto che il filare a monte corrispondente, come detto, ha una notevole sollecitazione di compressione. In caso contrario la forza F1 dovrebbe ridursi ad un valore compatibile con la resistenza disponibile.

In conclusione quindi si sono definiti due nuovi schemi di calcolo per i setti e per le fasce murarie tra le aperture.

...CONTINUA.


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