Un modello per isolatori elastomerici soggetti a grandi deformazioni

ABSTRACT
L’isolamento sismico mediante isolatori elastomerici multistrato è stato utilizzato negli Stati Uniti per più di 20 anni. Gli isolatori sono costruiti con molti strati di elastomero (di solito gomma naturale) rinforzati con piastre d'acciaio, e sono estremamente rigidi in direzione verticale ma flessibili direzione orizzontale. Questa caratteristica permette loro di sopportare il peso di un edificio, ma di modificare la frequenza naturale fondamentale dell’edificio in modo che sia inferiore a quella dello stesso edificio se convenzionalmente fondato. Gli isolatori elastomerici sono molto stabili, ma la bassa rigidezza a taglio provoca il fenomeno di instabilità. Generalmente è consueto progettarli con un grande fattore di sicurezza contro la deformazione. Lo studio della deformazione sotto carico di compressione si basa su una teoria lineare elastico, anche se l'elastomero non ha una comportamento complessivamente elastico lineare, nell’intervallo di tensione che generalmente sono utilizzati, la deformazione è prevalentemente a taglio e il loro comportamento può essere approssimativamente considerato lineare. Di conseguenza, la teoria lineare, anche se approssimativa, è relativamente precisa ed adeguata per la maggior parte scopi di progettazione. Quello che non è noto è invece la risposta dell’isolatore quando si verifica una deformazione molto grande. La questione della stabilità dello postbuckled è una questione ancora irrisolta. Inoltre, nell'analisi della risposta dinamica di strutture di questi isolatori, è anche necessario comprendere le interazioni tra la rigidezza orizzontale e il carico verticale e tra rigidità verticale e spostamento orizzontale, in condizioni sia di compressione postbuckling e sia di trazione. Tutti questi effetti possono essere derivati da un semplice modello a due molle lineari qui descritto.

INTRODUZIONE
Gli isolatori elastomerici multistrato (IEM) sono ampiamente utilizzati in ambito dell’ingegneria civile come rimedio alle vibrazioni strutturali, nei ponti, e nella protezione sismica degli edifici. Gli isolatori sono utilizzati in compressione e a taglio. Quando vengono utilizzati negli edifici alti, questi isolatori possono essere sollecitati ad una certa quantità di tensione. L'instabilità degli IEM sotto carico di compressione è un fenomeno ampiamente studiato con prove sperimentali da Buckle and Liu (1993, 1994), Aiken et al. (1989), la Civil Engineering Research Foundation (CERF 1998a, b, c, 1999), Buckle et al. (2002), Warn et al. (2007), Sanchez et al. (2013), e Han et al. (2013a, b) o con simulazioni numeriche da Nagarajaiah e Ferrell (1999), Warn and Whittaker (2006), Warn e Weisman (2011), e Weisman and Warn (2012). In questo documento, le interazioni di carico assiale vengono interpretate attraverso l’utilizzo di modello semplificato a molle (Kelly 1997) che consente una analisi semplificata mantenendo però una comprensione fisica diretta del fenomeno. Questo modello viene utilizzato per illustrare l'influenza grandi deformazioni sulle varie interazioni tra la rigidezza orizzontale e il carico verticale e tra la rigidezza verticale ed lo spostamento orizzontale, dimostrando così il comportamento postbuckling.

MODELLO A MOLLE AI GRANDI SPOSTAMENTI
Gli IEM possono essere soggetti a una deformazione dovuta ad instabilità simile a quella di una colonna ordinaria ma dominata dalla bassa rigidità al taglio. Storicamente il primo modello a cui si fa riferimento è la teoria di Haringx (1947) che fu quindi applicata da Gent (1964) al problema della stabilità di molle a compressione in gomma multistrato. Gli effetti del carico assiale possono essere spiegati da una teoria a due molle presentata per la prima volta da Kelly (1997) in grado di modellare gli effetti considerati dalle teorie precedenti. Una delle caratteristiche sorprendenti del semplice modello è il fatto di riuscire a riprodurre con precisione le caratteristiche meccaniche dell'isolatore elastomerico multistrato tramite un modello lineare. L'equazione caratteristica del modello è in grado di predire instabilità sia di tensione e compressione, l'interazione tra il carico verticale ed la rigidezza orizzontale e tra la rigidezza verticale e spostamento orizzontale e quindi per la compressione e carichi subcritici trazione. Nonostante queste importanti applicazioni, la teoria lineare non permette fare previsioni circa il comportamento postbuckling comportamento o circa l'influenza della grande deformazione. In questo lavoro si è dunque sostituito le equazioni differenziali alle equazioni algebriche originarie e il modello scaturito permette di tenere in considerazione questi importanti effetti. I componenti del modello sono mostrati in Fig. 1. Nel modello due elementi rigidi sono collegati da molle attraverso cerniere poste in corrispondenza delle lastre superiori ed inferiori e da molle di tagli a metà altezza. Le variabili di deformazione sono indicate in Fig. 1.

Le equazioni che regolano il modello sono riportate in (1)-(5). Maggiori dettagli in Forcellini e Kelly, 2014.

Dove

Tali equazioni combinate come mostrato in Forcellini and Kelly, 2014, danno luogo all’espressione compatta:

Il metodo di soluzione è quello di fissare lamda e p e risolvere per f come una funzione di u e quindi calcolare le altre grandezze come funzioni di u e tracciare in termini di f. La Figura 2 rappresenta la soluzione dell'equazione (6) per diversi valori di p. Le figure 3-5 mostrano i risultati della cinematica ai grandi spostamenti in termini di:  .

Figura 1 – Modello a molle.

Figura 2 – Eq. 6- Compressione

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