Alcuni cenni sulle soluzioni avanzate in geotecnica. Modellazioni FEM e FDM

Senza pretesa di completezza, questa memoria approfondisce in particolare alcune caratteristiche dei metodi FEM e FDM affinché sia meglio compresa la portata delle soluzioni offerte, con un impegno di risorse progettuali del tutto paragonabile, in certi casi, ai metodi tradizionali. Per chiarire i diversi tipi di approccio, vengno dapprima focalizati gli algoritmi di calcolo, quindi si paragonano due tipiche soluzioni di moto di filtrazione di falda.

Le moderne analisi numeriche risultano da un intreccio di tre componenti fondamentali (Fig. 1): un’analisi dello stato tensionale/deformativo, un criterio di collasso nell’ambito dell’applicazione di una teoria della plasticità, un metodo per la definizione della sicurezza.
Le analisi FEM e FDM differiscono innanzitutto per il modo in cui viene determinata la distribuzione delle tensioni/deformazioni nel terreno. Entrambi i metodi si basano su una discretizzazione del terreno in un numero arbitrariamente definito di campi di integrazione (Fig. 2, a), la differenza consiste nella mera formulazione analitica del problema. Entrambi gli algoritmi giungono a formulare un sistema risolvente composto da equazioni riferite ai nodi del sistema. Il numero delle equazioni dipende essenzialmente dal numero dei nodi e dai gradi di libertà. Per esempio, i gradi di libertà nel piano sono due: spostamenti in direzione X e Y (nei metodi FEM) oppure velocità coordinate nelle due direzioni V_X e V_Y (metodi FDM).
Gli algoritmi risolutivi divergono (Fig. 2,B) in quanto:

• i metodi FEM perseguono soluzioni scevre da semplificazioni, basandosi su un approccio letteralmente puntuale, che porta alla definizione dei parametri desiderati (spostamenti, sollecitazioni) con continuità nel dominio dello spazio . In tale modo, il sistema di equazioni risolutive comporta l’integrazione “esatta” di un sistema alle derivate parziali spaziali, utlizzando le leggi della meccanica classica. Le equazioni che compongono il sistema coinvolgono la matrice delle rigidezze del sistema e mediante le funzioni di forma si definisce virtualmente il comportamento di ogni punto. I risultati dell’analisi sono immediatamente fruibili in termini di comportamento (sforzi / deformazioni).

• i metodi FDM ammettono delle discretizzazioni basate su valor medi di spostamenti e sollecitazioni, per cui il sistema risolutivo, per non perdere di rigore, viene impostato considerando l’equilibrio mediante la seconda legge della dinamica (F = m x a). In tale sistema è necessaria un’integrazione nel dominio del tempo di accelerazioni e velocità per arrivare alla definizione degli spostamenti, integrazione nei fatti non sempre agevole.

Figura 1 – Tipiche componenti del calcolo geotecnico avanzato (Rabuffetti – 2013), Figura 2 – Aspetti delle differenti discretizzazioni

NELL'ARTICOLO COMPLETO LE STRATEGIE RISOLUTIVE LEGATE AL PROBLEMA TENSIONALE DEI DUE ALGORITMI.

Articolo tratto dagli Atti del 4° IAGIG, L'Aquila, 11-12 Aprile 2014
http://www.iagig.unisa.it/iagig_2014/iagig2014atti