Selezione multicriterio: cos'è e come funziona l’analisi di Pareto

L’analisi di Pareto è un metodo di selezione multicriterio basato sulla dominanza: un elemento domina un altro quando non è peggiore in nessuna proprietà ed è migliore in almeno una. Il Pareto Set raccoglie così le alternative non dominate, senza attribuire pesi né costruire un indice sintetico. L’articolo approfondisce proprietà qualitative e numeriche, criteri MAX/MIN e tolleranze, mostrando alcuni esempi di applicazioni.

Analisi di Pareto e selezione multicriterio: principi e campo di applicazione

Nel seguito “elemento” indica genericamente un prodotto, una soluzione tecnica, un’offerta economica, una persona o qualsiasi altro oggetto descritto da una o più proprietà, le caratteristiche poi utilizzate nel confronto. Le proprietà possono essere numeriche - costo, peso, durata, anni di esperienza o giorni lavorativi - oppure qualitative - disponibilità, criteri di scelta (sì/no), livello di esperienza (basso/medio/alto) o giudizio (sufficiente/buono/ottimo).

Le proprietà qualitative possono essere utilizzate direttamente se i loro livelli sono ordinabili. Non è necessario trasformare, ad esempio, sufficiente, buono e ottimo in valori numerici, basta stabilire l’ordine tra i vari livelli. Analogamente, per una proprietà espressa con sì/no deve essere stabilita qual è la condizione migliore rispetto allo scopo della valutazione.

Quando gli elementi sono descritti da proprietà diverse non sempre è utile costruire subito una graduatoria. Se alcune proprietà sono qualitative e/o espresse con unità di misura diverse, prima di costruire un indice occorre renderle confrontabili per poter stabilire l’importanza da attribuire a ciascuna.

Con tanti elementi dotati di tante proprietà può essere utile individuare anzitutto quali elementi debbano restare in gioco. Il metodo di selezione descritto nel seguito prende il nome da Vilfredo Pareto (1848–1923), ingegnere, economista e sociologo italiano.^[1–3] 

L’analisi di Pareto si basa sul concetto di dominanza e confronta gli elementi due a due, proprietà per proprietà, senza assegnare pesi e senza costruire un indice sintetico.

Nel seguito, descritti i concetti di dominanza e di insieme di Pareto (Pareto Set, PS), si chiarisce l’effetto del numero delle proprietà e si distingue tra proprietà qualitative e numeriche, introducendo per queste ultime il concetto di tolleranza.

Seguono alcuni esempi: la selezione di candidati, la preselezione delle offerte in una gara d’appalto e la selezione dei finalisti di un torneo.

Dominanza e insieme di Pareto

Per applicare l’analisi di Pareto deve essere possibile stabilire, confrontando la stessa proprietà di due elementi, se uno dei due è migliore dell’altro oppure se i due sono equivalenti. Per ogni coppia di elementi di un insieme vengono confrontate, una per una, tutte le proprietà omologhe, per verificare se uno dei due domina l’altro.

Nella formulazione classica, un elemento X domina un elemento Y quando X non è peggiore di Y in nessuna proprietà ed è migliore in almeno una. Nel confronto i due elementi possono essere equivalenti per una o più proprietà. È sufficiente che X sia peggiore di Y anche in una sola proprietà perché X non possa dominare Y; essere migliore in una proprietà non compensa l’essere peggiore in un’altra.

È la regola del vero capo: essere almeno all’altezza dei propri collaboratori in ogni campo e avere, in almeno uno, qualcosa in più.

La dominanza non richiede quindi di sommare le proprietà, attribuire loro pesi o costruire un punteggio complessivo.

Confrontando ciascun elemento con tutti gli altri si individuano quelli che non sono dominati da nessuno. Questi formano il Pareto Set (PS), l’insieme degli elementi non dominati. Il PS non è una classifica: non ordina gli elementi e può contenerne uno o più di uno.

Numero e scelta delle proprietà: come cambia il Pareto Set

Il Pareto Set dipende dalle proprietà scelte per il confronto e dal loro numero, siano esse qualitative, ordinabili o numeriche. Aggiungere a un insieme di proprietà un’ulteriore proprietà significa introdurre una nuova condizione di confronto, e l’effetto può essere la perdita di una dominanza.

Se X dominava Y considerando le proprietà già presenti ma, per la nuova proprietà, X è peggiore di Y, X non domina più Y. Se Y era escluso dal PS soltanto per quella dominanza e non lo è più, entra nell’insieme dei non dominati. All’aumentare del numero delle proprietà è perciò frequente che le dominanze diminuiscano e che il PS aumenti o resti invariato.

Non si tratta di una regola assoluta, perché una nuova proprietà può anche creare una dominanza. Nella formulazione classica ciò può accadere, per esempio, quando due elementi erano equivalenti per tutte le proprietà già considerate e la nuova proprietà rende uno dei due migliore dell’altro. In questo caso uno dei due domina l’altro e il PS può diminuire.

Resta comunque valida una regola generale: aggiungere una nuova proprietà non può modificare il fatto che un elemento era peggiore dell’altro in una proprietà precedentemente considerata. Se X era peggiore di Y anche in una sola delle proprietà già considerate, l’aggiunta di una nuova proprietà non può comportare che X domini Y.

Nel paragrafo "Proprietà numeriche e tolleranze" si esamina come l’introduzione delle tolleranze possa evitare che piccole differenze numeriche modifichino il confronto.

Le proprietà qualitative: ordinare i livelli

Per le proprietà qualitative non occorre attribuire punteggi, è sufficiente ordinare i possibili livelli rispetto allo scopo della valutazione. Ad esempio: Ottima > Buona > Adeguata per la competenza tecnica, Elevate > Buone > Adeguate per le capacità relazionali, Sì > No per la disponibilità alle trasferte (Tabella 1).

Tabella 1 – Esempi di proprietà qualitative ordinabili e non ordinabili. Fonte: F.B.

Una proprietà per cui non è possibile stabilire un ordine, in tabella la specializzazione, non può essere utilizzata direttamente nell’analisi di Pareto ma può essere mantenuta come informazione descrittiva.

Un ordine indica quale livello è migliore, non misura la distanza tra i livelli e non consente quindi di affermare, ad esempio, che la distanza tra Ottima e Buona sia uguale a quella tra Buona e Adeguata. Anche quando i livelli sono rappresentati con numeri (0, 1, 2, …), questi indicano soltanto un ordine e dunque non consentono, di per sé, operazioni aritmetiche.

Proprietà numeriche e tolleranze

Prima del confronto, per ogni proprietà numerica deve essere stabilito il criterio MAX/MIN. Rispetto allo scopo della valutazione si assume MAX se è migliore un valore maggiore, MIN se è migliore un valore minore.

Prima di applicare il criterio MAX/MIN è necessario verificare se due valori numericamente diversi sono effettivamente distinti: differenze molto piccole possono infatti essere inferiori alla precisione dei dati, quindi irrilevanti per il problema considerato.

A tal fine per ciascuna proprietà numerica j si definisce una tolleranza ε_j ≥ 0, espressa nella stessa unità di misura della proprietà. La tolleranza è indipendente dai valori della coppia di elementi confrontati e rimane invariata in tutti i confronti relativi a quella proprietà. Il valore ε_j = 0 corrisponde al caso in cui la tolleranza non si applica.

La tolleranza può essere assegnata direttamente nell’unità di misura della proprietà oppure come percentuale del suo campo di variazione. La forma percentuale è preferibile quando le proprietà hanno unità di misura o ordini di grandezza molto diversi.

Indicando con V_j,max e V_j,min i valori massimo e minimo della proprietà j, il suo campo di variazione è:

Δ_j = V_j,max − V_j,min

Se p_j è la tolleranza percentuale assegnata alla proprietà j, la corrispondente tolleranza assoluta è:

ε_j = (p_j / 100) Δ_j

La tolleranza ε_j così ottenuta, espressa nell’unità di misura della proprietà, viene utilizzata in tutti i confronti relativi a quella proprietà.

Se ε_j > 0, indicando con X_j e Y_j i due valori da confrontare si calcola il rapporto tra la differenza dei due valori e la tolleranza:

R_j = |X_j − Y_j| / ε_j

Essendo numeratore e denominatore espressi nella stessa unità di misura, anche R_j è un numero adimensionale.

Il valore R_j = 1 corrisponde esattamente a una differenza di valori pari alla tolleranza. Se R_j ≤ 1, la differenza è compresa nella tolleranza, se R_j > 1, la differenza supera la tolleranza, i due valori vanno considerati come distinti e si applica il criterio MAX/MIN.^[1]

La Tabella 2 presenta l’intero procedimento su due confronti.

Tabella 2 – Tolleranza e confronti tra proprietà numeriche. Fonte: F.B.

Nel confronto (X–Y), per la proprietà potenza R = 0,80 e la differenza è compresa nella tolleranza. Per il prezzo R = 1,50: la differenza supera la tolleranza e i valori sono distinti ma, poiché il criterio è MIN, 20,0 è migliore di 21,5. X non è peggiore di Y in nessuna delle due proprietà ed è migliore per il prezzo, quindi X domina Y.

Nel confronto (X–Z) sono R = 0,60 per la potenza e R = 0,50 per il prezzo: entrambe le differenze sono comprese nelle rispettive tolleranze dunque X non domina Z.

[1] Il rapporto Rj è una riscrittura adimensionale della dominanza con tolleranza di Chisari ^[4]. Per εj > 0 conduce agli stessi esiti delle condizioni (8a) e (8b) dell’articolo riportato nella referenza [4]; per εj = 0 si ricade nella dominanza classica.

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L’articolo prosegue nel PDF con tre esempi che mostrano nel dettaglio come applicare l’analisi di Pareto a problemi di selezione multicriterio. Per il settore delle costruzioni è particolarmente significativo il caso di una gara d’appalto, nel quale nove offerte ammesse vengono confrontate considerando sei proprietà: offerta economica, tempi di esecuzione, qualità dell’offerta tecnica, migliorie, Project Management e subappalto.

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FAQ sull’analisi di Pareto

Che cos’è l’analisi di Pareto nella selezione multicriterio?
L’analisi di Pareto è un metodo che consente di selezionare, tra più alternative descritte da diverse proprietà, quelle che non risultano dominate dalle altre. Il confronto avviene proprietà per proprietà, senza attribuire pesi e senza costruire un punteggio complessivo. Il risultato è il Pareto Set, cioè l’insieme degli elementi non dominati.

Quando un elemento domina un altro nell’analisi di Pareto?
Un elemento X domina un elemento Y quando non è peggiore di Y in nessuna delle proprietà considerate ed è migliore in almeno una. Se X risulta peggiore anche in una sola proprietà, non può dominare Y. In questo modo, un vantaggio su un criterio non compensa automaticamente una prestazione peggiore su un altro.

Che cos’è il Pareto Set e come si interpreta?
Il Pareto Set, indicato anche come PS, è l’insieme degli elementi che non sono dominati da nessun altro elemento del confronto. Non rappresenta una graduatoria e non identifica necessariamente la soluzione migliore. Serve invece a restringere il numero delle alternative che restano in gioco prima di una successiva fase di scelta o classificazione.

L’analisi di Pareto può confrontare proprietà qualitative e numeriche?
Sì. Le proprietà qualitative possono essere utilizzate quando i loro livelli sono ordinabili, ad esempio “ottimo > buono > adeguato”. Per quelle numeriche occorre stabilire se sia preferibile il valore maggiore, criterio MAX, oppure quello minore, criterio MIN. Proprietà qualitative e numeriche possono essere considerate anche nello stesso confronto.

A cosa serve la tolleranza nell’analisi di Pareto?
La tolleranza permette di considerare equivalenti differenze numeriche troppo piccole per essere significative rispetto alla precisione dei dati o allo scopo della valutazione. Per ogni proprietà numerica può essere definita una tolleranza ε, espressa nella stessa unità di misura oppure ricavata come percentuale del campo di variazione. Solo quando la differenza supera tale soglia i valori vengono considerati realmente distinti.