Strutture in acciaio: quando il secondo ordine diventa obbligatorio (e come modellarlo)

L’articolo analizza le tipologie di analisi previste dall’Eurocodice 3 per le strutture in acciaio, con particolare attenzione agli effetti del secondo ordine e all’introduzione delle imperfezioni geometriche. Vengono chiariti i criteri per la scelta tra analisi lineari e non lineari e le condizioni di sensibilità allo sbandamento. È illustrato un caso applicativo su passerella pedonale modellata con NextFEM, evidenziando modalità operative e implicazioni progettuali. Il contenuto è rivolto a progettisti che operano con modelli FEM avanzati.

---

Eurocodice 3: classificazione delle analisi strutturali per l’acciaio (LA, LBA, GMNIA)

L’EuroCodice 3 parte 1-14:2025 di recente pubblicazione offre una metodologia da seguire per l’analisi numerica a elementi finiti delle strutture in acciaio, classificando le analisi per il modo in cui gestiscono le non linearità:

• LA (Linear Elastic Analysis): Analisi elastica lineare. Prevede il comportamento della struttura basandosi su piccoli spostamenti, piccole deformazioni e materiale elastico lineare, riferendosi alla geometria iniziale

• LBA (Linear Elastic Bifurcation Analysis): Analisi di biforcazione elastica lineare. Ricava gli autovalori (load factor) e gli autovettori (modi) per i quali la struttura può instabilizzarsi, ignorando le imperfezioni e assumendo un materiale elastico lineare. Fornisce il carico critico elastico, cioè il carico corrispondente alla biforcazione dell’equilibrio.

• MNA (Materially Nonlinear Analysis): Analisi con non linearità del materiale. Considera un materiale elastico-plastico ma assume piccoli spostamenti (geometria del primo ordine) e geometria perfetta. Fornisce la resistenza plastica.

• GNA (Geometrically Nonlinear Elastic Analysis): Analisi con non-linearità geometrica. Utilizza un materiale elastico lineare ma include gli effetti del secondo ordine (grandi spostamenti) sulla geometria perfetta.

• GMNA (Geometrically and Materially Nonlinear Analysis): Analisi con non linearità geometrica e del materiale. Combina entrambe le non linearità di geometria e materiale, fornendo la resistenza senza considerare le imperfezioni.

• GNIA (Geometrically Nonlinear Elastic Analysis with Imperfections): Analisi elastica con non linearità geometrica e imperfezioni. Include esplicitamente le imperfezioni geometriche e le tensioni residue, mantenendo un materiale elastico lineare.

• GMNIA (Geometrically and Materially Nonlinear Analysis with Imperfections): Analisi con non linearità geometrica, del materiale e imperfezioni. Include tutte le non linearità e le imperfezioni, fornendo la resistenza caratteristica della struttura.

La scelta dell’analisi viene spesso influenzata anche dalle esigenze pratiche: se la verifica è basata sulle combinazioni di progetto, allora è fondamentale non perdere la sovrapponibilità degli effetti e pertanto sarà privilegiata l’analisi lineare.

La norma europea definisce α_{cr, sw}  come il più piccolo moltiplicatore di carico ottenuto da un’analisi di stabilità (buckling lineare) per un modo “sway” (di sbandamento, ovvero la deformata - autovettore - non deve mostrare un modo locale o di altro tipo). È necessario prevedere altre analisi a supporto della consueta LA (ad esempio la LBA, da eseguire sempre per strutture in acciaio). Se invece α_{cr, sw} > 10 possiamo procedere con le analisi lineari.

Come scegliere il metodo di analisi per strutture in acciaio: criteri pratici

La scelta del metodo di analisi (e verifica delle membrature successiva) si riassume nella seguente classificazione da Eurocodice 3:

• M0/M1: Solo primo ordine, nessuna imperfezione (strutture molto rigide).

• M2: Primo ordine globale, ma include le imperfezioni di sbandamento tramite forze orizzontali equivalenti.

• M3: Secondo ordine globale, include le imperfezioni di sbandamento; richiede verifiche di stabilità delle membrature con le curve di instabilità.

• M4: Secondo ordine globale, include sia sbandamento che arco (nel piano). Non serve la verifica di instabilità nel piano.

• M5: Secondo ordine totale con tutte le imperfezioni (incluso torsionali). Se tutte le non linearità sono incluse, non servono ulteriori verifiche di stabilità per le membrature.

• EM (Equivalent Member): Analisi globale del primo ordine senza imperfezioni, recuperando tutto tramite l'uso di lunghezze di libera inflessione appropriate nelle verifiche delle singole membrature.

Effetti del secondo ordine nelle strutture in acciaio: significato e impatto sul calcolo

Dalla matrice Ke alla matrice Kg: come nasce la non linearità geometrica

Mentre la matrice di rigidezza elastica Ke raccoglie le relazioni lineari fra forza e spostamento, la matrice di rigidezza geometrica Kg contiene i termini di secondo ordine, dovuti alla non linearità geometrica.

Si pensi ad esempio ad una struttura a mensola di luce L con un carico assiale P e uno trasversale Q all’estremo libero:

• in regime lineare, il momento alla base è Q L

• considerando gli effetti di secondo ordine si scrive l’equilibrio in configurazione deformata, quindi il momento alla base diventa Q L + P δ, con δ lo spostamento dell’estremo libero dovuto a Q.

L’equilibrio in configurazione deformata comporta sempre termini quadratici, di qui il nome “secondo ordine”, perché si va oltre l’approssimazione lineare di Ke raccogliendo i termini successivi ai primi in Kg.

La matrice Kg viene anche chiamata in letteratura matrice dello sforzo iniziale (initial stress matrix), o matrice di rigidezza differenziale o di stabilità geometrica.

Da quanto detto, si capisce che la matrice Kg cambia con gli incrementi di carico (se previsti). Ci aspettiamo generalmente spostamenti laterali maggiori quando includiamo gli effetti di secondo ordine in un’analisi a elementi finiti, quindi forze maggiori da verificare nelle membrature.

La formulazione di Kg in NextFEM Designer considera:

• gli effetti dell’instabilità euleriana, quindi i termini dipendenti dallo sforzo assiale N nelle travi

• gli effetti dell’instabilità flesso-torsionale, quindi i termini dipendenti dai momenti M (torcente e le due flessioni).

Imperfezioni geometriche nelle strutture in acciaio: tipologie e modellazione secondo EC3

Le imperfezioni geometriche equivalenti

Le imperfezioni geometriche equivalenti sono pensate per includere sia i difetti di rettilineità che l’effetto delle tensioni residue post-laminazione dei profili. L’Eurocodice 3 parte 1-1:2022 le classifica come:

• Imperfezioni globali da sbandamento (sway, §7.3.2), da considerarsi nei telai in acciaio, sia mono- che multipiano;
• Imperfezioni iniziali ad arco (bow, §7.3.3) delle membrature
• Imperfezioni per i sistemi di controvento orizzontale (§7.3.5).

Le imperfezioni da sbandamento (sway)

Le imperfezioni da sbandamento (sway) possono essere introdotte nel modello come forze orizzontali equivalenti. L’angolo di sbandamento/deviazione iniziale è dato da:

Φ = Φ₀ * α_H * α_m

In cui:

• Φ₀ è il valore di base dell’imperfezione, pari a 1/400 per verifica elastica delle sezioni o 1/200 per verifica plastica (comune con profili di classi 1 o 2);
• α_H è un fattore di riduzione per l’altezza della struttura pari a 2/H^1/2, con (2/3) < α_H <  1.0
• α_m è un fattore di riduzione in funzione del numero di colonne m in una fila (con carico verticale non inferiore al 50% della media, quindi in generale sono comprese nel conteggio le colonne estreme) e viene valutato come α_m = [ 0.5 * (1 + 1/M)] ^1/2

Per chiarezza, possiamo applicare sia l’angolo come spostamento ai nodi ( ) o come forza equivalente.

Infine, per trasformare questo angolo in una forza laterale equivalente:

FH = Φ * N_Ed

La norma italiana NTC2018, al paragrafo C4.2.3.5, raccomanda le stesse formule, indicando sempre . Questi valori si applicano anche ai controventi verticali.

Le forze così ottenute vanno applicate in entrambe le direzioni orizzontali, ma non contemporaneamente, considerando quindi una sola direzione alla volta in combinazioni con entrambi i segni.

Le imperfezioni ad arco (bow)

Per le imperfezioni ad arco (bow) delle membrature, la norma propone diverse formulazioni dipendenti dalla luce della membratura. In particolare ci interessano:

• Per l’instabilità flessionale: e₀ = max ( α *L/150; L/1000)
• Per l’instabilità flesso-torsionale: e₀ = max ( α β_LT*L; L/1000)

Con α il fattore di imperfezione dipendente dal tipo di sezione:

• Curva a0: 0,13

• Curva a: 0,21

• Curva b: 0,34

• Curva c: 0,49

• Curva d: 0,76

Mentre è già definito nelle formule per la verifica a stabilità flesso-torsionale.

Queste imperfezioni possono essere applicare sotto forma di:

• Carico distribuito equivalente
• Forze concentrate alle estremità

Si raccomanda ovviamente di utilizzare una mesh opportuna per ogni membratura di interesse, che deve avere almeno un nodo centrale.

Per i controventi orizzontali, l’imperfezione iniziale si rappresenta analogamente a quella ad arco con:

e₀ =  α_m *L/150

Con α_m = [ 0.5 * (1 + 1/M)] ^1/2 come già visto in precedenza e m il numero di membrature che il sistema stabilizza.

Il carico equivalente sul controvento è pari a: 

Con la somma dei carichi assiali di progetto delle membrature da stabilizzare e δ_q la freccia del sistema di controvento dovuta ai carichi esterni. δ_q = 0 se viene svolta un’analisi del secondo ordine.

La norma specifica infine anche di applicare una forza locale nei punti in cui le membrature collegate sono compresse pari a Qm = 2ΦN_Ed con Φ come valutato per i meccanismi sway.

Quando applicare le imperfezioni: criteri normativi e verifiche preliminari

Per capire quando applicare le imperfezioni, è necessario dapprima saggiare la sensibilità allo sbandamento (sway-sensitivity). Allo scopo, si esegua una semplice analisi di buckling lineare (LBA). L’analisi deve essere condotta considerando tutti i casi di carico verticale, senza coefficienti di combinazione.
L’analisi è lineare, pertanto non vengono prese in conto le non linearità derivanti ad esempio da elementi reagenti a sola trazione (es. controventi di falda o verticali).

Si ottengono i moltiplicatori di carico – autovalori -, ordinati in modo crescente. Il più piccolo relativo ad un modo “sway” (di sbandamento, ovvero la deformata - autovettore - non deve mostrare un modo locale o di altro tipo) viene chiamato α_cr,sw . Per riconoscere un modo “sway” basta vedere se i nodi del telaio si spostano lateralmente.

• Se α_cr,sw > 10, il telaio non è sensibile allo sbandamento e i relativi effetti del secondo ordine possono essere trascurati. La norma italiana (§4.2.3.4) innalza tale limite a 15 se viene usata l’analisi plastica.
• Se α_cr,sw < 10, il telaio è sensibile; in altri termini i relativi effetti del secondo ordine aumentano in modo significativo le sollecitazioni.

I difetti di verticalità dei telai si possono trascurare anche se la somma delle reazioni orizzontali alla base delle colonne di un piano H_Ed è almeno il 15% della somma delle reazioni verticali Q_Ed .

Per gli edifici monopiano, se α_cr,sw > 3.0, possono essere amplificati i carichi orizzontali per un fattore

La norma europea definisce α_cr,sw  come il più piccolo moltiplicatore di carico ottenuto da un’analisi di stabilità (buckling lineare) per un modo “sway” (di sbandamento, ovvero la deformata - autovettore - non deve mostrare un modo locale o di altro tipo). È necessario prevedere altre analisi a supporto della consueta LA (ad esempio la LBA, da eseguire sempre per strutture in acciaio). Se invece α_cr,sw  > 10 possiamo procedere con le analisi lineari.

Diventa tuttavia necessaria, come abbiamo visto, se la struttura è sensibile agli effetti del secondo ordine. Quindi se α_cr,sw < 10 dobbiamo aggiungere anche le imperfezioni.

Con riferimento alla classificazione del metodo di analisi già riportata in precedenza, le imperfezioni si applicano ai modelli come descritto in tabella seguente.

Analisi FEM di una passerella in acciaio: applicazione pratica con imperfezioni

NextFEM Designer supporta tutte le analisi lineari e non lineari:

• Buckling: l’analisi corrisponde a quanto richiesto dalla LBA come definita in precedenza. Considera la struttura elastica ed è un’analisi agli autovalori per fornire i moltiplicatori del carico critico. Al pari dell’analisi modale, non vengono considerati elementi a sola trazione/compressione.
• PDelta: analisi lineare a singolo step di carico per fornire forze e spostamenti considerando anche il secondo ordine (GNA). Questa analisi non considera elementi a sola trazione/compressione, assumendo un comportamento lineare. Questo per assicurare la piena sovrapponibilità degli effetti se usata per formare combinazioni di carico.
• Analisi statica/dinamica non lineare: corrisponde alla MNA, gli elementi a sola trazione/compressione sono sempre considerati, come anche eventuali molle non lineari o cerniere plastiche
• Analisi statica/dinamica non lineare con effetti del secondo ordine: corrisponde alla GMNA; rispetto alla precedente, aggiunge gli effetti del secondo ordine.

A queste analisi possono essere aggiunti gli effetti delle imperfezioni (tramite forze equivalenti) per ottenere GNIA e GMNIA.

Infine, nella verifica delle membrature in acciaio, NextFEM Designer permette di definire a livello di elemento:

• la lunghezza libera di inflessione L0yy e L0zz

• alternativamente, i rapporti fra lunghezza libera di inflessione e lunghezza dell’elemento βyy e βzz

• i rapporti fra lunghezza libera di inflessione per la stabilità e lunghezza dell’elemento βby e βbz.

Vedremo ora un esempio di analisi GNIA su un modello di passerella pedonale di luce 60m, cortesemente fornito dall’Ing. R. Cervellini (TV).

Viene dapprima svolta un’analisi LBA, che evidenzia un primo modo per l’impalcato. Il moltiplicatore di carico è inferiore a 10, pertanto la struttura appare sensibile agli effetti del secondo ordine.

Procediamo quindi all’applicazione delle imperfezioni, al fine di svolgere un’analisi M3 considerando le forze equivalenti alle imperfezioni. Calcoliamo quindi l’imperfezione ad arco equivalente per i correnti inferiori:

Applichiamo quindi le imperfezioni con il comando Strumenti / Python Scripting, selezionando lo script “imperfectionsFromBuckModes”. La finestra che appare consente di eseguire codice Python utilizzando le API di NextFEM direttamente sul modello aperto.

Applicazione delle imperfezioni in termini di spostamento di nodi in NextFEM Designer

Nello script è stato modificato il caso di carico (lc='buckling') e il vettore factors delle ampiezze da applicare. Il vettore [0.2066 ,0] significa che vogliamo applicare solo il primo modo per un’ampiezza massima di 20.66cm e riteniamo nulli gli altri modi. Ulteriori specifiche sull’uso dello script sono disponibili qui.

Tipicamente, e come richiesto dalla norma, si applica la deformata principale e le altre al 70%. Questa impostazione del programma consente inoltre di saltare o escludere determinati modi (es. locali o non di interesse).

Il modello ora presenta coordinate nodali modificate con le imperfezioni richieste, e può essere utilizzato per le analisi (M2 – primo ordine - o M3 – secondo ordine).

Conclusioni

L’analisi di strutture in acciaio richiede molto spesso l’applicazione delle imperfezioni al modello, con l’obiettivo principale di progettare strutture più sicure e performanti.

Oltre a permettere l’analisi con il secondo ordine, NextFEM Designer automatizza l’applicazione delle imperfezioni, consentendo la scelta di quante e quali applicare al modello. Il progettista ha il pieno controllo di cosa viene applicato, decidendo quali forme modali utilizzare.

La scelta delle imperfezioni da applicare rimane quindi l’unico tema su cui il progettista può concentrarsi appieno, senza dover superare nessun altro ostacolo di modellazione o gestione del modello.

Tutte le analisi e le procedure illustrate sono accessibili senza limitazioni nella versione gratuita di NextFEM Designer, scaricabile dal nostro sito.

---

FAQ TECNICHE + Acciaio: analisi secondo ordine e imperfezioni con NextFEM

Che cos’è l’analisi del secondo ordine nelle strutture in acciaio?

È un’analisi che considera gli effetti geometrici dovuti agli spostamenti della struttura sotto carico. A differenza dell’analisi lineare, include contributi aggiuntivi (matrice Kg) che modificano sollecitazioni e deformazioni. È fondamentale per strutture snelle, dove gli effetti P-Δ incidono significativamente sulla stabilità globale.

A cosa servono le imperfezioni geometriche e quando si applicano?

Le imperfezioni simulano difetti reali di costruzione e tensioni residue. Servono a rappresentare condizioni realistiche di instabilità. Si applicano quando la struttura è sensibile allo sbandamento (valori bassi del moltiplicatore di buckling) o quando si eseguono analisi avanzate come GNIA o GMNIA.

Quali sono le principali tipologie di analisi previste dall’Eurocodice 3?

L’Eurocodice distingue analisi lineari (LA), di buckling (LBA) e non lineari (MNA, GNA, GMNA, GNIA, GMNIA). La differenza riguarda la presenza di non linearità geometriche, del materiale e delle imperfezioni. La scelta dipende da snellezza, sensibilità allo sbandamento e obiettivi di verifica.

Quali vantaggi offre l’analisi non lineare rispetto a quella lineare?

Consente di cogliere effetti reali di instabilità e comportamento plastico, evitando sovra- o sottostime delle sollecitazioni. Permette inoltre, in alcuni casi (M4, M5, GMNIA), di evitare verifiche separate delle membrature, integrando tutto nel modello globale.

Come si introducono le imperfezioni nei modelli FEM?

Possono essere modellate come spostamenti iniziali dei nodi o come forze equivalenti. Spesso derivano dai modi di buckling (LBA), scalati secondo criteri normativi. È essenziale utilizzare una mesh adeguata e includere almeno un nodo intermedio per ogni asta interessata.

Qual è l’impatto su sicurezza, comfort e durabilità della struttura?

Una corretta valutazione delle imperfezioni e degli effetti del secondo ordine riduce il rischio di instabilità improvvisa e collasso. Migliora l’affidabilità delle verifiche e consente un dimensionamento più consapevole, con effetti diretti su sicurezza strutturale e durabilità nel tempo.

Quali errori devono evitare i progettisti nella modellazione?

Tra gli errori più frequenti: trascurare l’analisi LBA preliminare, applicare imperfezioni non coerenti con i modi di instabilità, utilizzare mesh non adeguate e scegliere analisi lineari in presenza di elevata snellezza. Anche l’uso improprio delle combinazioni di carico può compromettere la validità dei risultati.