Analisi non lineari di strutture in muratura: un semplice metodo di plasticità progressiva in applicazione a un caso di studio

La complessità del comportamento strutturale degli edifici in muratura portante è tale non poter essere descritta tramite semplici analisi in elasticità lineare: non sempre però è possibile il ricorso ad analisi di pushover ed è sempre comunque utile disporre di più strumenti per verificarne la rispondenza alle richieste di normativa. In questo articolo viene descritto un semplice metodo di verifica non lineare di struttura in muratura.

 

Introduzione all’analisi non lineare delle strutture in muratura

La maggior parte del costruito italiano è costituito da strutture in muratura, per la quasi totalità costruite in epoche che ne pensavano la progettazione esclusivamente con riferimento a carichi verticali.

L’odierno studio della vulnerabilità sismica, o, più in generale, la complessiva verifica strutturale di queste strutture, presenta delle difficoltà direttamente collegate alle peculiarità di questo materiale: innanzitutto per l’estrema variabilità delle tipologie (dal pietrame disordinato ai mattoni pieni con malta), che rende difficile utilizzare un’unica legge costitutiva valida per ogni tipologia, ma principalmente per l’intrinseca caratteristica della muratura di essere un materiale non omogeneo, anisotropo e a comportamento assolutamente non lineare, con resistenze e moduli elastici profondamente differenti fra compressione e trazione.

 

Limiti delle analisi elastiche lineari nelle murature

Queste caratteristiche fanno sì che limitarsi ad analisi di tipo elastico sia estremamente cautelativo, dal momento che questo tipo di analisi si conclude al primo elemento non verificato [1].

In sostanza, la semplice analisi elastica lineare rischia di assegnare all’intero edificio la resistenza del suo elemento più debole e come conseguenza il risultato diventa estremamente dipendente dalle scelte di modellazione: pensiamo ad esempio a due differenti modelli di uno stesso edificio, il primo in cui si sia scelto di modellare anche elementi di dettaglio quali maschi murari di lunghezza trascurabile, il secondo nel quale questi elementi non siano stati rappresentati in quanto ritenuti non significativi.

Ebbene, il primo modello, per quanto “più preciso”, fornirà ad un’analisi elastica lineare una valutazione di capacità sismica decisamente inferiore, pari a quella del più debole fra gli elementi di dettaglio.

Data quindi per acquisita la necessità di effettuare un’analisi di tipo non lineare,   è possibile far ricorso anche a metodi altri dall’analisi pushover: anzi, stante la complessità del comportamento strutturale della muratura, è senza dubbio utile affiancare più metodi di indagine, e anche avere a disposizione metodi alternativi qualora l’analisi di pushover possa essere non significativa a causa di particolarità della struttura.

 

Il metodo di plasticità progressiva sviluppato da CDM DOLMEN

Il metodo qui presentato, sviluppato all’interno di CDM DOLMEN, fa riferimento a una modellazione a telaio equivalente (Equivalent Frame Model) che vede il comportamento degli elementi murari descritto in base al criterio proposto da Dolce[2][3]:

 

   

  

Modellazione a telaio equivalente per pareti murarie

Come tale, fa parte di un’ampia categoria di modellazioni che nascono dall’osservazione dei meccanismi fessurativi e schematizzano la parete muraria come composta di parti flessibili e parti infinitamente rigide: per DOLMEN la parete muraria si compone di elementi asta aventi tratti a rigidezza infinita, di lunghezza determinata  secondo il criterio proposto in [2]: questi elementi sono inoltre svincolati alle azioni fuori dal piano.

Anche i cordoli presentano dei tratti rigidi, in corrispondenza dei pannelli murari, tratti rigidi che hanno il compito di schematizzare non tanto un comportamento proprio di cordoli od orizzontamenti quanto la bidimensionalità del pannello stesso.

Il maschio murario è quindi rappresentato tramite un insieme di elementi finiti asta: in questo modo il comportamento della parete muraria rimane scomposto in quello di elementi semplici e di facile lettura.

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Differenze tra analisi pushover e plasticità progressiva

Il modello e il principio di schematizzazione dell’evoluzione dei meccanismi plastici all’interno del sistema strutturale sono in DOLMEN gli stessi per pushover e metodo di plasticità progressiva.

Nell’analisi di pushover vengono mantenuti costanti i carichi gravitazionali e incrementata gradualmente, secondo un unico moltiplicatore, una distribuzione di forze orizzontali applicate alle masse che simula le forze inerziali derivanti dall’azione sismica. Il metodo implementato in DOLMEN ricerca il moltiplicatore della distribuzione di forze che porta un primo elemento in incipiente stato di plasticizzazione, ovvero alla condizione di coefficiente di sicurezza pressoché unitario nella verifica/verifiche a taglio o a momento: genera la “fotografia” di questa situazione in termini di spostamenti ed applica un incremento quasi infinitesimale del moltiplicatore: a questo incremento corrisponde per uno o più elementi, il raggiungimento della plasticizzazione, e quindi la creazione di cerniere plastiche con conseguente modifica della matrice del sistema, matrice che rimane costante sino al moltiplicatore del carico che determina il successivo elemento non verificato.

Gli spostamenti della struttura vengono calcolati come somma degli spostamenti dovuti all’incremento del moltiplicatore della distribuzione sul sistema avente la matrice di rigidezza valida in quell’intervallo di forze. Il comportamento post-elastico della struttura viene quindi schematizzato attraverso l’utilizzo di cerniere plastiche, e la plasticità risulta concentrata nelle sezioni che delimitano il tratto flessibile.

Le distribuzioni di forze da applicare devono essere sufficientemente rappresentative del comportamento strutturale, e per ogni distribuzione di forze viene con questo metodo generata la curva di capacità della struttura. La valutazione del rapporto capacità/domanda prevede la definizione di un sistema equivalente ad un grado di libertà, riassuntivo del comportamento strutturale sotto quella distribuzione di forze.

Nell’analisi di plasticità progressiva la struttura soggetta ai carichi gravitazionali viene sottoposta alle combinazioni sismiche di normativa e viene ricercata per iterazioni un configurazione (se esistente) nella quale tutti gli elementi siano verificati. Il metodo prevede cioè di generare delle cerniere plastiche nelle sezioni non verificate, effettuando così una redistribuzione degli sforzi in funzione della capacità portante dei singoli elementi e liberando così parzialmente gli elementi non verificati dalle azioni più gravose, che dovranno essere ripartite fra gli altri.

Se la riserva di resistenza della struttura lo consente, il processo termina con la verifica di tutti gli elementi, altrimenti la struttura diventa labile.

Questo metodo non prevede quindi il ricorso alla definizione di un oscillatore semplice, ma si limita a ricercare una possibile configurazione equilibrata e verificata.

L’analisi di plasticità progressiva non necessariamente deve riguardare le sole combinazioni sismiche. Ad es. se la combinazione «Quasi Permanente» dà luogo a piccole problematiche locali, possiamo utilizzare l’analisi di plasticità progressiva per vedere se queste problematiche sono effettive o possono essere risolte con poche iterazioni.

 

Caso studio: benchmark n.5 ReLUIS

Le differenze e le analogie fra i due metodi risultano più facilmente comprensibili se illustrate facendo riferimento ad un esempio specifico. Il modello scelto per questa esemplificazione è quello del benchmark n.5 della pubblicazione ReLUIS  “Uso dei software di calcolo nella verifica sismica degli edifici in muratura”[4], che indaga sullo stato dell’arte del software commerciale dedicato all’analisi pushover di edifici in muratura portante, e percorre una serie di benchmark indagando somiglianze e differenze fra le soluzioni offerte da più software, ricercandone le motivazioni nelle possibili differenti ipotesi di modellazione e indagando la sensibilità dei risultati alle ipotesi, e più in generale ai parametri di input significativi.

Di particolare interesse applicativo è inoltre l’attenzione che il documento pone su tutti quei controlli effettuabili in fase di input per evitare errori grossolani derivanti da un errato inserimento dei dati.

L’esempio che segue è il I benchmark n.5 della pubblicazione ReLUIS, utilizzato, insieme ad altri, per generare il documento di validazione DOLMEN delle analisi non lineari di strutture in muratura portante.

Nelle immagini, gli ingombri solidi e il modello strutturale come inseriti in DOLMEN:

 

Nel seguito, le immagini che costituiscono una citazione del documento ReLUIS [4] verranno contrassegnate da un bordo azzurro per renderle riconoscibili, mentre le immagini provenienti dal software DOLMEN verranno distinte tramite un bordo sottile nero.

Per i materiali sono stati assunti ii valori delle rigidezze fessurate:

 

   

e le valori delle resistenze utilizzati nel documento ReLUIS, che prevedono la sola verifica a taglio-fessurazione dei pannelli

Per la modellazione i solai sono stati assunti rigidi:

   

I carichi sulla struttura sono stati assegnati nelle varie condizioni elementari come carichi aste e carichi di solaio, con differenti percentuali di ripartizione dei carichi di solaio nelle due direzioni.

 

  

Il sottotetto non è stato esplicitamente schematizzato ma semplicemente rappresentato come carico.

L’analisi dei carichi ci porta alla valutazione della massa sismica complessiva:

    

Gli accidentali concorrono, come richiesto, a definire la massa sismica affetti dal coefficiente 0.6

(-27940.63[Peso_proprio] - 3873.94 [Permanente] - 1060.89 [Var.scuola]*.6) kN = 32 451.104 kN

La massa totale da considerare per l’azione sismica è di 32 451.104 kN ovvero 3 307 962 Kg , con una differenza percentuale inferiore all’1% rispetto alla massa di 3 336 031 Kg derivante dai calcoli manuali. I controlli sui valori dei carichi effettuabili in DOLMEN sono comunque molteplici, e mi consentono di interrogare la modellazione sotto svariati punti di vista.

Per poter effettuare poi anche il confronto di q* e delle PGA sono stati assegnati dati sismici concordi con quelli del documento Reluis, e in particolare S=1.52, T_C = 0.714, F_o=2.363.

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