Matematica in vacanza: quando i due fari torneranno a lampeggiare insieme?
Due fari, due intervalli di lampeggio e una domanda solo apparentemente semplice. Un gioco matematico che porta a riscoprire il minimo comune multiplo attraverso una situazione tipica della navigazione.
Un gioco matematico tra mare, navigazione e ...
È sera, il sole è tramontato e dalla terrazza sul mare si vedono due fari in lontananza.
Uno emette un lampo ogni 18 secondi.
L’altro ogni 24 secondi.
Alle 22:00 esatte i due lampi coincidono.
La domanda è semplice:
Quando torneranno a lampeggiare nello stesso istante?
Non servono formule complicate, né calcolatrice. Basta riscoprire uno dei concetti più elementari, ma anche più utili, dell’aritmetica: il minimo comune multiplo.
Il problema
Due fari costieri utilizzano sequenze luminose regolari.
Il Faro A emette un lampo ogni:
18 secondi
Il Faro B emette un lampo ogni:
24 secondi
Alle ore:
22:00:00
i due fari emettono contemporaneamente un lampo.
Da quel momento continuano a funzionare ciascuno con il proprio intervallo regolare.
Le domande
- Dopo quanti secondi i due fari torneranno a lampeggiare contemporaneamente?
- A che ora avverrà la successiva coincidenza?
- Quante volte avrà lampeggiato il Faro A in quell’intervallo?
- Quante volte avrà lampeggiato il Faro B?
- Quante coincidenze si verificheranno nell’ora successiva alle 22:00, escludendo quella iniziale?
Provate a rispondere a mente prima di proseguire.
Un piccolo suggerimento
Non dobbiamo sommare 18 e 24.
Dobbiamo trovare il primo numero che appartiene contemporaneamente alla sequenza dei multipli di 18 e a quella dei multipli di 24.
I primi istanti in cui lampeggia il Faro A sono:
18, 36, 54, 72…
Quelli del Faro B:
24, 48, 72…
A questo punto il risultato comincia già a intravedersi.
La soluzione
1. Dopo quanto tempo i due fari lampeggiano di nuovo insieme?
Cerchiamo il minimo comune multiplo tra:
18 e 24
Possiamo scomporre i due numeri in fattori primi.
Per 18:
18 = 2 × 3²
Per 24:
24 = 2³ × 3
Per ottenere il minimo comune multiplo prendiamo ciascun fattore primo con l’esponente più alto presente nelle due scomposizioni:
MCM = 2³ × 3²
cioè:
8 × 9 = 72
Risposta
I due fari torneranno a lampeggiare insieme dopo:
72 secondi
2. A che ora avverrà?
Settantadue secondi corrispondono a:
1 minuto e 12 secondi
Partendo dalle 22:00:00 otteniamo:
22:01:12
Questa è la prima nuova coincidenza.
3. Quanti lampi avrà emesso il Faro A?
Il Faro A lampeggia ogni 18 secondi.
In 72 secondi:
72 ÷ 18 = 4
Avrà quindi raggiunto quattro intervalli:
- 18 s
- 36 s
- 54 s
- 72 s
Il suo quarto lampo successivo a quello delle 22:00 coincide con il Faro B.
4. Quanti lampi avrà emesso il Faro B?
Il Faro B lampeggia ogni 24 secondi.
In 72 secondi:
72 ÷ 24 = 3
I suoi lampi saranno:
- 24 s
- 48 s
- 72 s
Il terzo coincide con il quarto lampo del Faro A.
La risposta
- Intervallo Faro A: 18 s
- Intervallo Faro B: 24 s
- Prima nuova coincidenza: dopo 72 s
- Ora: 22:01:12
- Intervalli completati dal Faro A: 4
- Intervalli completati dal Faro B: 3
Ma quante volte coincideranno in un’ora?
Abbiamo scoperto che i fari coincidono ogni:
72 secondi
Un’ora contiene:
3.600 secondi
Dividiamo:
3.600 ÷ 72
Possiamo ragionare a mente:
72 × 5 = 360
quindi:
72 × 50 = 3.600
In un’ora si verificano pertanto:
50 nuove coincidenze
Se volessimo contare anche quella iniziale delle 22:00:00, gli istanti di coincidenza sarebbero 51, considerando sia l’inizio sia quello a 3.600 secondi.
Perché il minimo comune multiplo?
Il problema contiene due fenomeni periodici.
Il primo si ripete ogni 18 secondi.
Il secondo ogni 24 secondi.
Cerchiamo il primo momento in cui entrambi hanno completato un numero intero di cicli.
Questo istante deve quindi essere contemporaneamente:
- multiplo di 18;
- multiplo di 24.
E vogliamo il più piccolo valore positivo possibile.
Esattamente la definizione di:
minimo comune multiplo
La morale del gioco
Il minimo comune multiplo viene spesso ricordato come uno degli esercizi più elementari della scuola.
Eppure descrive una situazione molto generale: la sincronizzazione di fenomeni periodici.
Ogni volta che due eventi si ripetono con frequenze differenti e vogliamo sapere quando torneranno a coincidere, il problema può essere ricondotto allo stesso principio.
Vale per i lampi dei fari, ma anche per:
- cicli di manutenzione;
- turnazioni;
- semafori;
- sequenze produttive;
- frequenze operative;
- sistemi meccanici periodici.
Una nozione apparentemente semplice diventa quindi uno strumento per comprendere il comportamento temporale di sistemi molto diversi.
Dal gioco alla navigazione
Nella realtà, i fari non vengono identificati semplicemente dalla frequenza con cui lampeggiano.
Ogni faro utilizza una propria caratteristica luminosa, costituita da combinazioni di lampi, eclissi, colori e periodi che consentono ai naviganti di riconoscerlo sulle carte nautiche e durante la navigazione notturna.
Il nostro esercizio utilizza due sequenze perfettamente periodiche e semplificate.
Ma il principio matematico rimane interessante: quando più fenomeni ciclici funzionano contemporaneamente, la loro relazione temporale può essere studiata attraverso multipli, frequenze e periodicità.
La matematica, ancora una volta, permette di trovare ordine in ciò che, osservato dalla costa, sembra soltanto una successione di luci nel buio.
Questo gioco di matematica è stato messo a punto con l'usilio di ChatGPT
Matematica
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