Quante persone può sostenere la piattaforma galleggiante? giochi di matematica per professionisti tecnici
Un gioco matematico su superficie, massa e principio di Archimede: dal diametro della piattaforma al numero massimo di persone, tutto risolvibile a mente.
Matematica sotto l’ombrellone: quante persone può sostenere la piattaforma galleggiante?
Un gioco matematico per professionisti tecnici in vacanza
Una piattaforma galleggiante può sembrare una struttura semplice: un elemento appoggiato sull’acqua, destinato al riposo o ai tuffi dei bagnanti.
In realtà, il suo equilibrio dipende da una relazione precisa tra la massa complessiva, il volume d’acqua spostato e la parte della struttura che deve rimanere emersa.
Questa volta, però, il primo passaggio non riguarda direttamente il galleggiamento. La piattaforma è circolare e ne conosciamo soltanto il diametro: prima di applicare il principio di Archimede occorre quindi calcolarne la superficie.
Il problema è risolvibile a mente, accettando un ragionevole livello di approssimazione.
Per tutti i calcoli assumiamo:
π = 3,15
Il problema
In uno stabilimento balneare è presente una piattaforma galleggiante circolare utilizzata dai bagnanti per prendere il sole e tuffarsi.
La piattaforma presenta queste caratteristiche:
- diametro: 4 metri;
- altezza complessiva: 40 centimetri;
- massa a vuoto: 2.520 kg.
La piattaforma galleggia in acqua dolce, la cui densità può essere assunta pari a:
1.000 kg/m³
Per ragioni di sicurezza, anche a pieno carico devono rimanere almeno:
10 centimetri fuori dall’acqua
Ogni persona ha una massa convenzionale di:
70 kg
Si trascurano il moto ondoso, le oscillazioni e la distribuzione non uniforme delle persone.
Per rendere il problema risolvibile a mente è ammesso utilizzare:
π = 3,15
Le domande
- Qual è la superficie della piattaforma?
- Quanto è immersa quando è vuota?
- Quale massa aggiuntiva può sostenere mantenendo 10 centimetri fuori dall’acqua?
- Quante persone da 70 kg possono salire contemporaneamente?
Provate a trovare la soluzione senza utilizzare la calcolatrice.
Un piccolo indizio
Per prima cosa occorre calcolare il raggio della piattaforma.
Il raggio è la metà del diametro.
La superficie di un cerchio si calcola con la relazione:
A = π × r²
Successivamente si può applicare il principio di Archimede: un corpo galleggiante sposta una massa d’acqua uguale alla propria massa complessiva.
Poiché un metro cubo di acqua dolce ha una massa di 1.000 kg, ogni 1.000 kg di massa richiedono lo spostamento di 1 m³ d’acqua.
Prima di proseguire, prova a svolgere mentalmente i passaggi:
- ricava il raggio dal diametro;
- calcola la superficie circolare;
- determina il volume immerso necessario;
- confronta la condizione a vuoto con quella di massimo carico.
....
La soluzione
1. Qual è la superficie della piattaforma?
Il diametro è pari a 4 metri.
Il raggio è quindi:
4 ÷ 2 = 2 metri
La superficie della piattaforma è:
A = π × r²
Utilizzando π = 3,15:
A = 3,15 × 2²
Poiché:
2² = 4
otteniamo:
A = 3,15 × 4 = 12,60 m²
La superficie della piattaforma è quindi:
12,6 m²
L’approssimazione adottata è leggermente superiore rispetto al valore reale di π, ma è del tutto adeguata per lo scopo del gioco.
2. Quanto è immersa la piattaforma vuota?
La massa della piattaforma è:
2.520 kg
Per galleggiare deve spostare una massa d’acqua pari a 2.520 kg.
Poiché la densità dell’acqua è di 1.000 kg/m³, il volume immerso necessario è:
2.520 ÷ 1.000 = 2,52 m³
La profondità di immersione si ottiene dividendo il volume immerso per la superficie della piattaforma:
2,52 ÷ 12,6 = 0,20 m
La piattaforma vuota è quindi immersa per:
20 centimetri
Poiché l’altezza complessiva è di 40 centimetri, restano fuori dall’acqua:
40 − 20 = 20 centimetri
3. Quanto può affondare ancora?
La condizione di sicurezza richiede che almeno 10 centimetri restino fuori dall’acqua.
La profondità massima di immersione è quindi:
40 − 10 = 30 centimetri
ossia:
0,30 metri
Il volume massimo immerso ammesso è:
12,6 × 0,30 = 3,78 m³
Questo volume corrisponde a una massa d’acqua pari a:
3,78 × 1.000 = 3.780 kg
La massa complessiva massima della piattaforma, delle persone e di eventuali carichi è quindi:
3.780 kg
4. Qual è il carico aggiuntivo disponibile?
La piattaforma pesa già 2.520 kg.
Il carico aggiuntivo massimo è:
3.780 − 2.520 = 1.260 kg
La piattaforma può quindi sostenere:
1.260 kg di carico aggiuntivo
mantenendo almeno 10 centimetri fuori dall’acqua.
Quante persone possono salire?
Ogni persona ha una massa convenzionale di 70 kg.
Il numero massimo di persone è:
1.260 ÷ 70 = 18
La piattaforma può quindi accogliere:
18 persone
rispettando la condizione di sicurezza stabilita.
La verifica finale
Diciotto persone hanno una massa complessiva pari a:
18 × 70 = 1.260 kg
La massa totale diventa:
2.520 + 1.260 = 3.780 kg
Il volume d’acqua spostato è quindi:
3,78 m³
Dividendo per la superficie della piattaforma:
3,78 ÷ 12,6 = 0,30 m
La piattaforma è immersa per 30 centimetri e mantiene esattamente:
40 − 30 = 10 centimetri
fuori dall’acqua.
La condizione richiesta è rispettata.
La risposta
- Diametro della piattaforma: 4 m
- Raggio: 2 m
- Superficie approssimata: 12,6 m²
- Immersione a vuoto: 20 cm
- Carico aggiuntivo massimo: 1.260 kg
- Numero massimo di persone da 70 kg: 18
- Immersione a pieno carico: 30 cm
- Parte ancora emersa: 10 cm
Perché si può usare π = 3,15?
Il valore reale di π è circa:
3,14159
Nel gioco abbiamo assunto:
π = 3,15
La differenza è molto piccola, inferiore allo 0,3%.
Questa approssimazione consente di ottenere numeri semplici e di svolgere tutti i passaggi a mente, senza compromettere il significato fisico del problema.
Nella progettazione reale, naturalmente, non sarebbe sufficiente scegliere un’approssimazione soltanto perché rende più comodi i calcoli. Il livello di precisione deve essere coerente con lo scopo della verifica, con l’affidabilità dei dati e con i margini di sicurezza richiesti.
In questo caso, invece, l’approssimazione è dichiarata e viene utilizzata esclusivamente per costruire un esercizio di calcolo mentale.
La morale del gioco
Il problema unisce tre passaggi diversi:
- il calcolo geometrico della superficie;
- la relazione tra massa e volume;
- l’applicazione del principio di Archimede.
La piattaforma non galleggia perché è leggera. Galleggia perché, immergendosi, sposta una quantità d’acqua la cui massa uguaglia la massa complessiva della struttura e dei suoi occupanti.
La forma della piattaforma determina la superficie disponibile. La superficie, a sua volta, determina quanto la piattaforma deve affondare per spostare un determinato volume d’acqua.
Con una superficie più grande, la stessa massa provoca un’immersione minore. Con una superficie più piccola, la piattaforma deve affondare maggiormente.
La geometria e la fisica, quindi, non sono due problemi separati: concorrono insieme a definire il comportamento della struttura.
Dal calcolo al progetto
Il principio di Archimede costituisce la base per il dimensionamento di pontoni, piattaforme, cassoni galleggianti, bacini e strutture marine.
Nella realtà, però, la verifica del solo galleggiamento non è sufficiente. È necessario valutare anche:
- la stabilità rispetto al ribaltamento;
- la posizione del baricentro;
- la distribuzione delle persone;
- i carichi concentrati;
- il moto ondoso;
- il vento;
- gli effetti dinamici;
- l’ingresso accidentale d’acqua;
- la tenuta dei compartimenti;
- le variazioni di peso nel tempo.
Nel nostro gioco le persone sono distribuite uniformemente e l’acqua è perfettamente calma.
La matematica stabilisce quanta massa può essere sostenuta.
Il progetto deve verificare che quella massa possa essere sostenuta con stabilità, margine e sicurezza anche nelle condizioni reali di utilizzo.
Questo gioco di matematica è stato messo a punto con l'usilio di ChatGPT
Matematica
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