Quanto dista il turista dalla cima della Torre di Pisa? giochi di matematica per professionisti tecnici
Un gioco matematico tra inclinazione, distanza e teorema di Pitagora, costruito a partire da misure reali della Torre di Pisa e risolvibile a mente.
Matematica in città: quanto dista il turista dalla cima della Torre di Pisa?
Un gioco matematico tra inclinazione, distanza e teorema di Pitagora
Davanti alla Torre di Pisa, quasi tutti cercano l’inquadratura giusta: c’è chi finge di sostenerla, chi prova a raddrizzarla con una mano e chi si limita a osservare la sua straordinaria inclinazione.
Per un professionista tecnico, però, quella stessa scena può trasformarsi in un problema geometrico.
La Torre raggiunge un’altezza di circa 56 metri e la sua sommità risulta spostata orizzontalmente di circa 3,9 metri rispetto alla verticale passante per la base. Per rendere il gioco risolvibile a mente, assumeremo rispettivamente:
- altezza della Torre: 56 metri;
- spostamento della sommità: 4 metri.
Sono valori arrotondati, ma molto vicini alle dimensioni effettive del monumento. La Torre misura infatti circa 55,86 metri sul lato più basso e 56,67 metri su quello più alto; l’inclinazione attuale è prossima a 3,97°, corrispondente a uno scostamento della sommità di circa 3,9 metri.
Il problema
Un turista si trova sul lato verso il quale pende la Torre di Pisa.
La distanza orizzontale tra il turista e il centro della base della Torre è pari a:
37 metri
Per semplificare il problema, consideriamo il turista come un punto posto al livello del terreno.
La Torre viene rappresentata come un segmento lungo 56 metri, inclinato in modo tale che la sua sommità sia spostata orizzontalmente di 4 metri verso il turista.
Le domande
- Qual è la distanza orizzontale tra il turista e la verticale della sommità?
- Qual è la distanza in linea retta tra il turista e la cima della Torre?
- Quali sono il seno e il coseno dell’angolo di osservazione della cima rispetto al terreno?
- Perché l’inclinazione della Torre rende la cima più vicina al turista?
Tutti i calcoli possono essere svolti a mente.
Un piccolo indizio
Il turista si trova a 37 metri dalla base.
La cima della Torre è spostata di 4 metri verso di lui.
La distanza orizzontale tra il turista e la verticale della cima non è quindi 37 metri.
Una volta calcolata questa distanza, il terreno, l’altezza della Torre e la linea di vista formano un triangolo rettangolo.
Le misure ottenute dovrebbero ricordare una terna pitagorica meno comune del classico triangolo 3-4-5, ma altrettanto esatta.
Prima di leggere la soluzione, prova a ricostruire il triangolo.
Hai:
- un’altezza di 56 metri;
- una distanza iniziale dalla base di 37 metri;
- uno spostamento della cima di 4 metri verso il turista.
Quanto misura il cateto orizzontale?
E quale numero, elevato al quadrato, sommato a 56², produce un quadrato perfetto?
La soluzione
1. La distanza orizzontale dalla verticale della cima
Il turista si trova a 37 metri dalla base.
La sommità della Torre è spostata di 4 metri nella sua direzione.
La distanza orizzontale tra il turista e la verticale passante per la cima è quindi:
37 − 4 = 33 metri
Risposta
La distanza orizzontale dalla verticale della sommità è:
33 metri
2. La distanza tra il turista e la cima
Possiamo ora costruire un triangolo rettangolo avente:
- cateto orizzontale: 33 metri;
- cateto verticale: 56 metri;
- ipotenusa: distanza tra il turista e la sommità.
Applichiamo il teorema di Pitagora:
d² = 33² + 56²
I due quadrati possono essere calcolati a mente:
33² = 1.089
56² = 3.136
Sommando:
1.089 + 3.136 = 4.225
Occorre quindi trovare la radice quadrata di 4.225.
Poiché:
65² = 4.225
otteniamo:
d = 65 metri
La distanza in linea retta tra il turista e la cima della Torre è quindi pari a:
65 metri
Le tre misure formano la terna pitagorica:
33 – 56 – 65
La verifica è:
33² + 56² = 65²
3. Seno e coseno dell’angolo di osservazione
Indichiamo con α l’angolo formato dalla linea di osservazione con il terreno.
Nel triangolo rettangolo:
- il cateto opposto ad α è l’altezza della Torre, pari a 56 metri;
- il cateto adiacente è la distanza orizzontale, pari a 33 metri;
- l’ipotenusa è la distanza dalla cima, pari a 65 metri.
Il seno dell’angolo vale:
sen α = cateto opposto / ipotenusa
quindi:
sen α = 56/65
Il coseno vale:
cos α = cateto adiacente / ipotenusa
quindi:
cos α = 33/65
La tangente sarebbe invece:
tan α = 56/33
Non è necessario trasformare questi rapporti in valori decimali o calcolare l’angolo in gradi.
La risposta completa
- Distanza del turista dalla base: 37 m
- Spostamento della cima verso il turista: 4 m
- Distanza orizzontale dalla verticale della cima: 33 m
- Altezza assunta della Torre: 56 m
- Distanza in linea retta dalla sommità: 65 m
- Seno dell’angolo di osservazione: 56/65
- Coseno dell’angolo di osservazione: 33/65
Che cosa accadrebbe se la Torre fosse perfettamente verticale?
Se la Torre non fosse inclinata, la cima si troverebbe sulla verticale della base.
La distanza orizzontale tra il turista e la verticale della sommità sarebbe quindi di 37 metri, non di 33.
La distanza dalla cima sarebbe:
√(37² + 56²)
Il risultato non è un numero intero e non occorre calcolarlo esattamente. È però certamente maggiore di 65 metri, perché il cateto orizzontale sarebbe più lungo.
L’inclinazione verso il turista avvicina dunque la sommità di 4 metri sul piano orizzontale e riduce la distanza in linea retta tra l’osservatore e la cima.
Naturalmente, per un turista che osserva la Torre da pochi decine di metri, la differenza nella percezione non dipende soltanto da questa distanza. Entrano in gioco prospettiva, altezza dell’occhio, posizione della fotocamera e orientamento rispetto alla direzione della pendenza.
Un dato reale, un modello semplificato
Il gioco utilizza alcuni dati vicini a quelli reali, ma rappresenta la Torre come un semplice segmento inclinato.
La Torre di Pisa è invece un edificio cilindrico articolato, con diametro esterno alla base di circa 15,5 metri, murature di notevole spessore e una massa stimata intorno alle 14.500–14.700 tonnellate.
Anche la misura dell’altezza non è unica: a causa dell’inclinazione, il lato più basso e quello più alto presentano quote differenti.
Il modello trascura inoltre:
- il diametro della Torre;
- la quota degli occhi del turista;
- l’irregolarità del terreno;
- la reale direzione dell’inclinazione;
- la curvatura e la geometria del monumento;
- la posizione esatta del punto osservato sulla sommità.
Queste semplificazioni non rendono il calcolo errato: ne delimitano il significato.
La morale del gioco
La matematica applicata parte spesso dalla realtà, ma non coincide interamente con essa.
Per risolvere il problema abbiamo trasformato la Torre di Pisa in un triangolo rettangolo. Abbiamo conservato soltanto le grandezze necessarie:
- altezza;
- inclinazione;
- distanza dell’osservatore.
Tutto il resto è stato temporaneamente escluso.
È il principio fondamentale della modellazione: eliminare gli elementi non essenziali per rendere leggibile una relazione, senza dimenticare che il modello rimane una rappresentazione semplificata.
La capacità tecnica non consiste soltanto nel saper svolgere il calcolo. Consiste anche nel comprendere:
- quali dati mantenere;
- quali dati trascurare;
- quali approssimazioni accettare;
- entro quali limiti interpretare il risultato.
Dalla geometria al progetto
L’inclinazione della Torre di Pisa è ciò che la rende immediatamente riconoscibile, ma rappresenta anche una straordinaria questione di statica, geotecnica e conservazione.
La pendenza cominciò a manifestarsi durante la costruzione, a causa delle caratteristiche deformabili e disomogenee del terreno di fondazione. Nel tempo, il fenomeno richiese interventi complessi di monitoraggio e stabilizzazione, grazie ai quali l’inclinazione è stata ridotta rispetto ai valori raggiunti alla fine del Novecento.
Nel gioco, l’inclinazione serve a ridurre di quattro metri un cateto.
Nella realtà, quegli stessi quattro metri raccontano secoli di interazione tra:
- peso della costruzione;
- geometria della struttura;
- terreno di fondazione;
- cedimenti differenziali;
- posizione del baricentro;
- capacità di intervento dell’ingegneria.
La geometria descrive la Torre inclinata.
L’ingegneria deve spiegare perché continua a rimanere in equilibrio.
Matematica
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