Matematica sotto l’ombrellone: il Sole si abbassa e l’ombra si allunga

Un gioco matematico per professionisti tecnici in vacanza

Anche sulla spiaggia, geometria e trigonometria continuano a lavorare.

Basta osservare l’ombra di un ombrellone per trasformare una scena ordinaria in un piccolo problema di rilievo indiretto. Questa volta non conosciamo l’altezza dell’ombrellone: dobbiamo ricavarla confrontando due diverse lunghezze dell’ombra, determinate dalla variazione dell’altezza del Sole.

Il problema richiede qualche nozione di trigonometria, ma è stato costruito con numeri semplici, così da poter essere risolto interamente a mente.

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Il problema

Un ombrellone è piantato verticalmente su una spiaggia perfettamente orizzontale.

In un primo momento, i raggi solari formano con il terreno un angolo di 45°.

Più tardi, quando il Sole è più basso sull’orizzonte, i raggi formano con il terreno un angolo α di cui sappiamo che:

sen α = 3/5

Tra le due osservazioni, la punta dell’ombra dell’ombrellone si è allontanata dalla sua base di esattamente:

1 metro

Si assume che, nei due momenti considerati, l’ombra si sviluppi lungo la stessa direzione sul terreno.

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Le domande

1. Quanto è alto l’ombrellone?
2. Quanto misura la sua ombra nella prima osservazione?
3. Quanto misura nella seconda?

Non è necessario calcolare il valore in gradi dell’angolo α.

Provate a trovare tutte le risposte senza utilizzare la calcolatrice.

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Un piccolo indizio

L’ombrellone, il terreno e il raggio solare formano un triangolo rettangolo.

Indicando con:

• h l’altezza dell’ombrellone;
• s la lunghezza dell’ombra;
• α l’angolo formato dai raggi solari con il terreno,

vale la relazione:

tan α = h/s

e quindi:

s = h/tan α

Nella prima osservazione l’angolo misura 45°.

Nella seconda conosciamo il seno dell’angolo. Da questo dato possiamo ricavare il coseno e, successivamente, la tangente.

Il rapporto 3/5 dovrebbe richiamare un triangolo rettangolo particolarmente noto.

Prima di proseguire, prova a ricostruire mentalmente i due triangoli.

Il dato decisivo non è la lunghezza di una delle due ombre, ma la differenza tra esse.

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La soluzione

La prima osservazione: raggi solari inclinati di 45°

Quando i raggi solari formano con il terreno un angolo di 45°:

tan 45° = 1

Poiché:

tan 45° = h/s₁

si ha:

1 = h/s₁

e quindi:

s₁ = h

Nella prima osservazione, la lunghezza dell’ombra è dunque uguale all’altezza dell’ombrellone.

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La seconda osservazione: sen α = 3/5

Sappiamo che:

sen α = 3/5

Questo rapporto richiama il triangolo rettangolo 3-4-5.

Se il seno, cioè il rapporto tra cateto opposto e ipotenusa, è pari a 3/5, allora il coseno vale:

cos α = 4/5

La tangente può essere ricavata dal rapporto tra seno e coseno:

tan α = sen α / cos α

Pertanto:

tan α = (3/5) / (4/5) = 3/4

Nel secondo triangolo vale dunque:

3/4 = h/s₂

Da cui:

s₂ = 4h/3

La seconda ombra è più lunga della prima, coerentemente con il fatto che il Sole si trova più basso sull’orizzonte.

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Il passaggio decisivo

Sappiamo che la punta dell’ombra si è allontanata di un metro.

La differenza tra la seconda e la prima ombra è quindi:

s₂ − s₁ = 1

Sostituiamo le espressioni trovate:

4h/3 − h = 1

Scrivendo anche h con denominatore 3:

4h/3 − 3h/3 = 1

quindi:

h/3 = 1

Da cui:

h = 3 metri

L’ombrellone è alto 3 metri.

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Quanto misurano le due ombre?

Nella prima osservazione abbiamo trovato che:

s₁ = h

Pertanto:

s₁ = 3 metri

Nella seconda osservazione:

s₂ = 4h/3

Sostituendo l’altezza:

s₂ = 4 × 3/3

quindi:

s₂ = 4 metri

La differenza tra le due ombre è effettivamente:

4 − 3 = 1 metro

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La risposta

• Altezza dell’ombrellone: 3 metri
• Lunghezza della prima ombra: 3 metri
• Lunghezza della seconda ombra: 4 metri
• Allungamento dell’ombra: 1 metro

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Perché il problema non è immediato

L’altezza dell’ombrellone non viene fornita direttamente.

Per ricavarla occorre:

1. rappresentare due diversi triangoli rettangoli;
2. tradurre le inclinazioni dei raggi solari in rapporti trigonometrici;
3. esprimere entrambe le ombre in funzione della stessa altezza;
4. utilizzare la differenza tra le due lunghezze per determinare l’incognita.

Il dato risolutivo non è quindi una misura assoluta, ma una variazione geometrica.

È il confronto tra due condizioni diverse a rendere possibile il calcolo.

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La morale del gioco

Non sempre, per determinare una grandezza, è necessario misurarla direttamente.

In questo caso non conosciamo l’altezza dell’ombrellone. Possediamo però tre informazioni:

• l’inclinazione dei raggi solari nella prima osservazione;
• un rapporto trigonometrico relativo alla seconda;
• la variazione della lunghezza dell’ombra.

La combinazione di questi dati consente di ricostruire la misura cercata.

È un principio che ricorre frequentemente nel rilievo e nella pratica tecnica: angoli, proiezioni, distanze e variazioni permettono di determinare dimensioni non direttamente accessibili.

La matematica, dunque, non serve soltanto a elaborare misure già note. Consente anche di ricavare ciò che non possiamo, o non vogliamo, misurare direttamente.

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Dalla trigonometria al progetto

L’ombra non è soltanto un effetto ottico. In architettura, ingegneria e urbanistica rappresenta una componente concreta del progetto.

La variazione della posizione del Sole influenza:

• l’efficacia delle schermature solari;
• il comfort degli spazi esterni;
• l’irraggiamento delle facciate;
• la disposizione di pensiline e aggetti;
• il rapporto tra edifici vicini;
• la produzione degli impianti fotovoltaici;
• la qualità climatica di piazze, cortili e percorsi pedonali.

La trigonometria permette di prevedere quanto sarà lunga un’ombra.

Il progetto deve stabilire dove cadrà, in quale momento della giornata e se, in quel punto, sarà desiderata oppure no.