Un gioco matematico tra altezza dell’osservatore, curvatura terrestre e orizzonte

Siamo sulla spiaggia, con i piedi quasi sul bagnasciuga. Al largo passa una nave. A un certo punto lo scafo scompare sotto l’orizzonte, poi progressivamente anche le sovrastrutture, finché resta visibile soltanto la parte più alta.

Quanto può essere lontana quella nave prima che scompaia completamente alla nostra vista?

Il problema sembra dipendere soltanto da due dati: l’altezza della persona sulla spiaggia e quella della nave. In realtà contiene un piccolo trabocchetto.

E questa volta non servono né Pitagora né trigonometria: entra in gioco la curvatura della Terra.

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Il problema

Una persona alta:

1,80 metri

si trova in piedi sul bordo del mare.

All’orizzonte osserva una nave la cui parte più alta raggiunge:

25 metri sopra il livello del mare

Assumiamo:

• mare perfettamente calmo;
• spiaggia praticamente al livello del mare;
• Terra sferica;
• assenza, per il momento, degli effetti della rifrazione atmosferica.

La domanda

Qual è la distanza massima approssimativa alla quale la punta della nave può essere ancora visibile?

Attenzione: nel testo c’è un dato che potrebbe indurvi a sbagliare.

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Un piccolo suggerimento

Per un osservatore posto a un’altezza h sopra il livello del mare, la distanza geometrica dell’orizzonte può essere approssimata da:

d ≈ 3,57 × √h

dove:

• d è espresso in chilometri;
• h è espresso in metri.

Per fare il conto a mente possiamo tranquillamente assumere:

d ≈ 3,6 × √h

Ma attenzione: per vedere una nave non dobbiamo considerare soltanto l’orizzonte dell’osservatore.

Anche la parte più alta della nave possiede un proprio “orizzonte”.

Le due distanze devono essere sommate.

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Dov’è il trabocchetto?

La persona è alta 1,80 metri.

Ma vede forse dalla sommità della testa?

No.

L’altezza che interessa il problema non è quella della persona.

È quella dei suoi occhi.

Supponiamo quindi che, per una persona alta 1,80 m, gli occhi si trovino circa 11 centimetri più in basso:

altezza degli occhi = 1,69 m

Non è un dato universale: è un’assunzione del nostro gioco. Ma ci permette anche un calcolo mentale particolarmente elegante, perché:

√1,69 = 1,3

Adesso possiamo procedere.

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La soluzione

1. Quanto è lontano l’orizzonte dell’osservatore?

Gli occhi si trovano a:

h = 1,69 m

Utilizziamo l’approssimazione:

d ≈ 3,6 × √h

Poiché:

√1,69 = 1,3

otteniamo:

d ≈ 3,6 × 1,3

cioè:

4,68 km

L’orizzonte geometrico dell’osservatore si trova quindi a circa:

4,7 km

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2. Quanto è lontano l’orizzonte della punta della nave?

La parte più alta della nave si trova a:

25 metri

Questa volta il calcolo è ancora più semplice:

√25 = 5

Quindi:

d ≈ 3,6 × 5

d ≈ 18 km

La punta della nave può quindi “vedere” l’orizzonte fino a circa 18 km.

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3. Qual è la massima distanza tra osservatore e nave?

Se l’osservatore e la punta della nave sono appena reciprocamente visibili oltre la curvatura terrestre, dobbiamo sommare le due distanze:

4,68 + 18 = 22,68 km

Possiamo quindi concludere che la punta della nave rimane geometricamente visibile fino a una distanza di circa:

22,7 km

Arrotondando:

circa 23 chilometri

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E se avessimo usato erroneamente 1,80 metri?

Qui sta il piccolo tranello.

Utilizzando l’altezza totale della persona avremmo scritto:

d = 3,6 × √1,80

ottenendo una distanza leggermente maggiore.

L’errore sarebbe piccolo in termini numerici, ma concettualmente importante.

La linea di vista parte dagli occhi, non dalla sommità del cranio.

Ed è proprio questo il genere di dettaglio che distingue un calcolo formalmente impostato da un modello fisicamente corretto.

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La risposta

Assumendo:

• persona alta: 1,80 m
• altezza degli occhi: 1,69 m
• altezza della nave: 25 m
• Terra sferica
• assenza di rifrazione atmosferica

otteniamo:

• orizzonte dell’osservatore: circa 4,7 km
• orizzonte della punta della nave: circa 18 km
• distanza massima teorica di visibilità:

circa 23 km

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E se salissimo su una terrazza?

Qui il gioco diventa interessante.

La distanza dell’orizzonte cresce con la radice quadrata dell’altezza, non proporzionalmente all’altezza.

Raddoppiare l’altezza dell’osservatore, quindi, non raddoppia la distanza dell’orizzonte.

Per raddoppiare la distanza occorre quadruplicare l’altezza.

È una relazione semplice, ma tutt’altro che intuitiva.

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Una precisazione tecnica: nella realtà possiamo vedere un po’ più lontano

Il valore di circa 23 km è quello puramente geometrico.

L’atmosfera terrestre rifrange leggermente i raggi luminosi e tende, in condizioni normali, ad aumentare la distanza apparente dell’orizzonte.

Per questo nelle applicazioni nautiche e geodetiche si possono utilizzare coefficienti leggermente differenti.

In particolari condizioni atmosferiche possono inoltre verificarsi fenomeni di rifrazione anomala o miraggi, capaci di rendere visibili oggetti teoricamente già al di sotto dell’orizzonte geometrico.

Il nostro gioco trascura volutamente questi fenomeni.

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La morale del gioco

Il problema contiene una lezione interessante sulla costruzione dei modelli matematici.

Il dato fornito era:

altezza della persona = 1,80 m

Ma quello realmente necessario era:

altezza degli occhi sul livello del mare.

La matematica può essere perfettamente corretta e produrre comunque un risultato concettualmente sbagliato se utilizziamo il dato sbagliato.

Prima della formula viene quindi una domanda ancora più importante:

che cosa dobbiamo davvero misurare?

È una regola che vale sulla spiaggia come in qualsiasi progetto tecnico.

E forse è proprio questo il vero trabocchetto del gioco: il numero più evidente non è sempre quello che serve.

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Questo gioco di matematica è stato messo a punto con l'usilio di ChatGPT