Quanta sabbia c’è nella tua “spiaggia privata”? giochi di matematica per professionisti tecnici
Tre ombrelloni, tre distanze e nessuna altezza da misurare. Un gioco matematico per riscoprire il teorema di Erone e calcolare l’area di un triangolo conoscendo soltanto i suoi lati.
Matematica in vacanza: quanta sabbia c’è nella tua “spiaggia privata”?
Un gioco matematico con il teorema di ....
Chi arriva presto in una spiaggia libera lo sa bene: la scelta del posto è quasi un rito.
Si pianta l’ombrellone, si stende il primo asciugamano, poi arrivano gli amici e, quasi senza accorgersene, si delimita uno spazio che tutti riconoscono come la propria “spiaggia privata”. È un gesto spontaneo, ma dal punto di vista geometrico quei tre ombrelloni individuano un triangolo.
Una domanda curiosa nasce quasi naturalmente: quanta superficie occupa davvero quello spazio?
Se il triangolo fosse rettangolo, il problema sarebbe relativamente semplice. Ma quando conosciamo soltanto le distanze tra gli ombrelloni e non disponiamo né dell’altezza né degli angoli, come possiamo calcolarne l’area?
La risposta arriva da un matematico vissuto quasi duemila anni fa: Erone di Alessandria, che ideò una formula tanto elegante quanto sorprendente. È uno di quei risultati della geometria classica che, ancora oggi, continuano a essere utilizzati nei software di rilievo, nei programmi CAD e negli algoritmi di calcolo.
Il problema
Tre amici arrivano in spiaggia di buon mattino e sistemano i propri ombrelloni prima dell’arrivo della folla.
Misurando con un semplice metro le distanze tra gli ombrelloni ottengono:
- Ombrellone A – Ombrellone B = 13 metri
- Ombrellone B – Ombrellone C = 14 metri
- Ombrellone C – Ombrellone A = 15 metri
Nessuno ha misurato l’altezza del triangolo e nessuno conosce gli angoli.
Eppure vogliono sapere quanta superficie racchiude la loro “spiaggia privata”.
Le domande
- Qual è il semiperimetro del triangolo?
- Qual è l’area racchiusa dai tre ombrelloni?
- Se ogni persona desidera almeno 20 m² di spazio, possono rimanere tutti e tre all’interno dell’area delimitata?
Un piccolo suggerimento
Questa volta il teorema di Pitagora non è di alcun aiuto.
Occorre utilizzare il teorema di Erone, che permette di determinare l’area di un triangolo conoscendo esclusivamente la lunghezza dei tre lati.
Calcolate prima il semiperimetro.
Poi osservate con attenzione i quattro fattori della formula: in questo esempio si possono raggruppare in modo molto elegante, rendendo il calcolo quasi immediato.
Fermatevi qui se volete provare a risolvere il problema da soli.
La soluzione
1. Il semiperimetro
Il perimetro del triangolo è:
13 + 14 + 15 = 42 metri
Il semiperimetro vale quindi:
42 ÷ 2 = 21 metri
2. L’area
Applichiamo il teorema di Erone.
Il semiperimetro è:
s = 21
I quattro termini della formula diventano:
- s = 21
- s − 13 = 8
- s − 14 = 7
- s − 15 = 6
L’area vale quindi:
A = √(21 × 8 × 7 × 6)
A questo punto il calcolo può essere semplificato osservando che:
21 × 8 × 7 × 6 = (7 × 7) × (12 × 12)
cioè:
49 × 144
La radice quadrata è immediata:
A = √(49 × 144) = 7 × 12 = 84 m²
Risultato
L’area della “spiaggia privata” è di
84 m².
3. Lo spazio disponibile
Tre persone desiderano almeno:
3 × 20 = 60 m²
L’area disponibile è invece:
84 m²
Ogni persona dispone mediamente di:
84 ÷ 3 = 28 m²
Risposta
Sì. Lo spazio è ampiamente sufficiente.
La risposta
- Lati del triangolo: 13 m, 14 m e 15 m
- Semiperimetro: 21 m
- Area: 84 m²
- Spazio medio disponibile per persona: 28 m²
Perché questo problema è interessante?
Il teorema di Erone dimostra che non sempre è necessario misurare tutto.
In molte attività professionali si conoscono soltanto le distanze tra alcuni punti, mentre quote, angoli o coordinate non sono immediatamente disponibili.
È una situazione che ricorre, ad esempio, nei:
- rilievi topografici;
- monitoraggi territoriali;
- triangoli di triangolazione;
- reti GPS;
- rilievi con laser scanner;
- ricostruzioni fotogrammetriche.
In tutti questi casi è possibile determinare l’area senza conoscere direttamente l’altezza del triangolo.
La morale del gioco
La matematica non serve soltanto a fare calcoli.
Serve soprattutto a ricostruire informazioni che non possiamo misurare direttamente.
Erone comprese che tre semplici lunghezze contengono già tutta l’informazione necessaria per determinare l’area di un triangolo. È un’idea straordinariamente moderna: utilizzare pochi dati affidabili per ricavare grandezze che sembrano irraggiungibili.
Ogni buon progetto, in fondo, nasce proprio da questo principio.
Dal gioco al progetto
Il teorema di Erone ha quasi duemila anni, ma continua a vivere nella pratica professionale contemporanea. Molti software di modellazione geometrica, rilievo topografico e calcolo strutturale lo applicano automaticamente ogni volta che devono determinare l’area di una superficie triangolare.
Il progettista spesso non se ne accorge, perché il risultato compare direttamente sullo schermo. Dietro quella semplicità, però, continua a lavorare la stessa intuizione matematica sviluppata da Erone di Alessandria.
È una dimostrazione affascinante di come alcune idee della geometria classica abbiano attraversato i secoli senza perdere la loro utilità: cambiano gli strumenti, ma i principi rimangono gli stessi.
Matematica
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