Quanto è lontano davvero il rifugio? giochi di matematica per professionisti tecnici
Un gioco matematico tra scala cartografica, dislivello, triangoli rettangoli e tempi di percorrenza, costruito per essere risolto a mente.
Matematica in quota: quanto è lontano davvero il rifugio?
Un gioco matematico tra scala della carta, dislivello e lunghezza reale del sentiero
In montagna, la distanza indicata su una carta non coincide necessariamente con quella realmente percorsa.
La carta restituisce una misura planimetrica, cioè proiettata su un piano orizzontale. Il terreno, però, sale, scende e costringe il sentiero ad adattarsi alla morfologia del versante. Alla distanza orizzontale occorre quindi aggiungere il dislivello e, successivamente, considerare la maggiore lunghezza prodotta da curve e tornanti.
Il problema richiede più passaggi, ma i numeri sono stati scelti affinché tutto possa essere risolto a mente.
Il problema
Un escursionista deve raggiungere un rifugio di montagna.
Sulla carta topografica in scala:
1:25.000
la distanza in linea retta tra il punto di partenza e il rifugio misura:
4 centimetri
Il punto di partenza si trova a quota:
1.250 metri
Il rifugio si trova a quota:
2.000 metri
Il sentiero reale, per adattarsi al versante e superare alcuni tratti rocciosi, è più lungo del 20% rispetto alla distanza minima inclinata tra i due punti.
L’escursionista procede lungo il sentiero a una velocità media di:
3 km/h
e compie una sosta di:
10 minuti
Le domande
- Qual è la distanza orizzontale reale tra la partenza e il rifugio?
- Qual è il dislivello?
- Quale sarebbe la distanza minima lungo un pendio rettilineo?
- Quanto è lungo il sentiero reale?
- Quanti metri di quota si guadagnano mediamente per ogni chilometro percorso?
- Quanto tempo occorre per raggiungere il rifugio, compresa la sosta?
Provate a risolvere il problema senza usare la calcolatrice.
Un piccolo indizio
Una scala 1:25.000 significa che:
1 centimetro sulla carta corrisponde a 25.000 centimetri nella realtà
Ricordando che:
100.000 centimetri = 1 chilometro
si può ricavare rapidamente la distanza orizzontale.
Per calcolare la distanza minima inclinata, la distanza orizzontale e il dislivello devono essere considerati come i cateti di un triangolo rettangolo.
I valori ottenuti dovrebbero richiamare una nota terna pitagorica.
Prima di leggere la soluzione, ricostruisci l’intero percorso:
carta → distanza orizzontale → dislivello → distanza inclinata → sentiero reale → tempo di percorrenza
La soluzione
1. La distanza orizzontale reale
La scala della carta è 1:25.000.
Un centimetro sulla carta corrisponde quindi a:
25.000 cm
Nella realtà, 25.000 centimetri equivalgono a:
250 metri
Poiché sulla carta la distanza misura 4 centimetri:
4 × 250 = 1.000 metri
La distanza orizzontale reale è quindi:
1.000 metri
ossia:
1 chilometro
2. Il dislivello
Il punto di partenza si trova a quota 1.250 metri, mentre il rifugio si trova a quota 2.000 metri.
Il dislivello è:
2.000 − 1.250 = 750 metri
Risposta
Il dislivello è di 750 metri
3. La distanza minima lungo il pendio
Immaginiamo ora un collegamento perfettamente rettilineo tra il punto di partenza e il rifugio.
Abbiamo un triangolo rettangolo con:
- cateto orizzontale: 1.000 metri;
- cateto verticale: 750 metri;
- ipotenusa: distanza inclinata da determinare.
Possiamo dividere entrambe le misure per 250:
- 1.000 ÷ 250 = 4;
- 750 ÷ 250 = 3.
Riconosciamo così il triangolo rettangolo:
3-4-5
L’ipotenusa misura quindi:
5 × 250 = 1.250 metri
Risposta
La distanza minima lungo un pendio rettilineo è:
1.250 metri
4. La lunghezza del sentiero reale
Il sentiero reale è più lungo del 20% rispetto alla distanza minima inclinata.
Il 10% di 1.250 metri è:
125 metri
Il 20% è quindi:
250 metri
La lunghezza reale del sentiero è:
1.250 + 250 = 1.500 metri
Risposta
Il sentiero è lungo 1,5 chilometri
5. Il dislivello guadagnato per ogni chilometro
Il percorso supera 750 metri di dislivello in 1,5 chilometri.
Per conoscere il guadagno di quota medio per ogni chilometro dividiamo:
750 ÷ 1,5
Possiamo ragionare senza numeri decimali:
1,5 chilometri corrispondono a 1.500 metri.
Se in 1.500 metri di percorso si guadagnano 750 metri di quota, il rapporto è:
750/1.500 = 1/2
Per ogni chilometro percorso si guadagna quindi mediamente:
500 metri di quota
Il dato può essere espresso come:
500 m di dislivello positivo per chilometro
Si tratta di un itinerario molto ripido e impegnativo.
6. Il tempo di percorrenza
La velocità media è di 3 km/h.
Il sentiero è lungo 1,5 km, cioè la metà di 3 km.
Per percorrerlo occorre quindi mezz’ora:
30 minuti
A questo tempo dobbiamo aggiungere la sosta di 10 minuti:
30 + 10 = 40 minuti
Risposta
Il tempo complessivo è:
40 minuti
La risposta completa
- Distanza misurata sulla carta: 4 cm
- Scala: 1:25.000
- Distanza orizzontale reale: 1.000 m
- Dislivello: 750 m
- Distanza minima inclinata: 1.250 m
- Lunghezza del sentiero reale: 1.500 m
- Guadagno medio di quota: 500 m/km
- Tempo di cammino: 30 minuti
- Tempo complessivo con la sosta: 40 minuti
Attenzione: la velocità è volutamente semplificata
Nel problema si assume che l’escursionista mantenga una velocità media di 3 km/h lungo l’intero sentiero.
Nella realtà, una salita con 750 metri di dislivello concentrati in appena 1,5 chilometri sarebbe estremamente impegnativa. La velocità media potrebbe quindi essere molto inferiore.
Il dato dei 3 km/h è una condizione matematica del gioco, non una previsione escursionistica realistica.
Questa precisazione è importante perché un risultato può essere formalmente corretto rispetto ai dati assegnati, ma poco rappresentativo della realtà se le ipotesi iniziali sono eccessivamente semplificate.
Perché la distanza sulla carta non basta?
La misura di 4 centimetri sulla carta consente di ricavare la distanza orizzontale tra i due punti, ma non descrive il percorso nella sua interezza.
Occorre distinguere almeno tre diverse grandezze:
La distanza planimetrica
È la distanza orizzontale misurata sulla carta: 1.000 metri.
La distanza inclinata minima
È il collegamento rettilineo nello spazio tra partenza e arrivo: 1.250 metri.
La lunghezza effettiva del sentiero
Comprende l’adattamento alla morfologia del versante, le curve e gli aggiramenti: 1.500 metri.
Nella pratica, il sentiero reale potrebbe essere ancora più lungo e presentare salite e discese intermedie non rilevabili dal semplice confronto tra le quote iniziale e finale.
La morale del gioco
Una misura non ha significato completo finché non è chiarito che cosa rappresenta.
Dire che il rifugio dista un chilometro è corretto dal punto di vista planimetrico, ma non significa che l’escursionista debba percorrere soltanto un chilometro. Non descrive il dislivello, l’inclinazione né l’andamento reale del sentiero.
Il problema mostra inoltre che i dati si trasformano progressivamente:
- la scala trasforma i centimetri in metri;
- il dislivello trasforma una distanza piana in una distanza spaziale;
- la morfologia trasforma il segmento rettilineo in un percorso reale;
- la velocità trasforma la distanza in tempo.
Ogni passaggio introduce un’informazione nuova e modifica il significato del risultato precedente.
Dal gioco al progetto
Lo stesso principio vale nella progettazione di strade, ferrovie, sentieri, funivie e infrastrutture in territorio montano.
La distanza planimetrica tra due punti rappresenta soltanto un primo dato. Il tracciato effettivo deve tenere conto di:
- pendenze massime ammissibili;
- stabilità dei versanti;
- geologia e morfologia;
- attraversamenti di corsi d’acqua;
- rischio valanghivo e idrogeologico;
- raggi di curvatura;
- opere di sostegno;
- accessibilità e manutenzione;
- inserimento paesaggistico.
Il collegamento geometricamente più breve raramente coincide con quello tecnicamente più appropriato.
La carta mostra dove si trovano i punti.
Il progetto stabilisce come sia realmente possibile collegarli.
Questo gioco di matematica è stato messo a punto con l'usilio di ChatGPT
Matematica
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