Matematica in vacanza: qual è l’area della spiaggia delle quattro palme?

Un gioco matematico con la formula di ...

Le spiagge tropicali raramente hanno una forma perfettamente regolare. A volte i loro confini sono definiti semplicemente da alcuni elementi naturali.

Immaginiamo che una piccola spiaggia privata sia delimitata da quattro palme, una in ciascun vertice.

Un geometra misura le distanze tra palme consecutive e osservando il rilievo nota inoltre una proprietà particolare: le quattro palme si trovano tutte sulla stessa circonferenza.

È proprio questa informazione a rendere il problema risolvibile.

Il problema

Una piccola spiaggia tropicale è delimitata da quattro palme.

Le distanze tra due palme consecutive sono:

• 13 m
• 14 m
• 13 m
• 14 m

Le quattro palme appartengono alla stessa circonferenza, cioè formano un quadrilatero ciclico.

Le domande

1. Qual è il semiperimetro della spiaggia?
2. Qual è la sua superficie?
3. Se per ogni lettino servono almeno 12 m², qual è il numero massimo teorico di lettini installabili?

Un piccolo suggerimento

Per un triangolo abbiamo utilizzato il teorema di Erone.

Per un quadrilatero ciclico esiste una formula molto simile, scoperta dal matematico indiano Brahmagupta oltre mille anni fa.

A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},\quad s=\frac{a+b+c+d}{2}

La differenza rispetto a Erone è che questa volta i lati sono quattro.

Calcola prima il semiperimetro.

Poi osserva che due dei termini della formula saranno uguali tra loro.

Questo rende il calcolo molto più semplice di quanto sembri.

La soluzione

1. Il semiperimetro

Il perimetro è:

13 + 14 + 13 + 14 = 54 metri

Il semiperimetro vale quindi:

54 ÷ 2 = 27 metri

2. L’area

Applichiamo la formula di Brahmagupta.

I valori sono:

• s − 13 = 14
• s − 14 = 13
• s − 13 = 14
• s − 14 = 13

Quindi:

A = √(14 × 13 × 14 × 13)

cioè:

A = √[(14 × 13)²]

La radice elimina il quadrato.

Otteniamo direttamente:

Area = 182 m²

Il risultato è particolarmente elegante perché è un numero intero.

3. Quanti lettini?

Ogni lettino richiede almeno:

12 m²

La superficie disponibile è:

182 m²

Il numero massimo teorico è:

182 ÷ 12 = 15 (arrotondando per difetto)

Infatti:

• 15 lettini occupano 180 m²;
• rimangono disponibili 2 m².

La risposta

• Lati: 13, 14, 13 e 14 metri
• Semiperimetro: 27 metri
• Area: 182 m²
• Numero massimo teorico di lettini: 15

Perché è un problema affascinante?

Il teorema di Erone consente di determinare l’area di un triangolo conoscendo soltanto i tre lati.

Brahmagupta dimostrò che un risultato analogo è possibile anche per un quadrilatero, ma soltanto se i quattro vertici appartengono alla stessa circonferenza.

È per questo che l’informazione sul quadrilatero ciclico è fondamentale: senza di essa, i quattro lati da soli non permetterebbero di determinare un’unica area.

La morale del gioco

Due figure possono avere gli stessi lati ma aree diverse.

Per descrivere completamente una figura non sempre bastano le lunghezze: conta anche la disposizione geometrica dei vertici.

In questo esercizio, una sola informazione aggiuntiva — il fatto che le quattro palme giacciano sulla stessa circonferenza — trasforma un problema indeterminato in un problema con una soluzione unica.

È una lezione che vale ben oltre la geometria: i dati hanno valore solo quando sono accompagnati dai giusti vincoli.

Questo gioco di matematica è stato messo a punto con l'usilio di ChatGPT