L'instabilità dell'equilibrio determinata dai terreni compressibili – il caso studio della Torre di Pisa

La Torre di Pisa mostra che una costruzione può risultare verificata per resistenza della muratura, capacità portante e ribaltamento geometrico e restare comunque prossima a un’instabilità globale. Il nodo è la stabilità del sistema struttura-terreno su suolo compressibile, governata dal confronto tra rigidezza rotazionale tangente e incremento del momento prodotto dal peso proprio. L’articolo ricostruisce numeri, interventi e monitoraggio del caso pisano e propone una verifica in otto passi trasferibile a torri, campanili, ciminiere e silos.

Perché una verifica non codificata merita spazio nella pratica progettuale

Il caso della Torre di Pisa viene abitualmente ricondotto — anche in ambito tecnico — a un problema di terreno scadente o di muratura provata. Nessuna delle due letture regge al confronto con i numeri: la compressione media sulla sezione lorda d'imposta non raggiunge 2 MPa, il terreno non ha mai manifestato un meccanismo di rottura generale e il coefficiente di sicurezza al ribaltamento geometrico superava, ancora nel 1990, il valore di quattro. Il meccanismo che ha condotto il campanile a un passo dal collasso appartiene a un'altra categoria: è l'instabilità dell'equilibrio di un corpo pesante su suolo deformabile, in inglese leaning instability.

Obiettivo dell'articolo è mostrare come quella verifica si imposta e si scrive, con i numeri di un caso reale, e come la si trasferisce all'attività ordinaria di progettazione e di valutazione della sicurezza.

Perimetro di analisi: schema statico globale e locale del campanile; caratteristiche della sollecitazione al piano di posa; condizioni di equilibrio, compatibilità e stabilità; lettura statica degli interventi di stabilizzazione 1992-2001; procedura operativa di verifica e ruolo del monitoraggio. Restano fuori la modellazione numerica avanzata dell'interazione terreno-struttura e la valutazione sismica del monumento.

Campo di applicazione: costruzioni snelle e pesanti fondate su terreni compressibili — torri e campanili storici, ciminiere, silos, serbatoi pensili, pile di grande altezza — nelle quali il rapporto fra quota del baricentro e dimensione dell'impronta di fondazione rende significativi gli effetti del secondo ordine indotti dal peso proprio.

Destinatari: progettisti strutturali e geotecnici, direttori dei lavori, collaudatori, tecnici incaricati di valutazioni di sicurezza su costruzioni esistenti e di piani di monitoraggio, professionisti che operano su beni culturali tutelati.

I tre esiti positivi che nascondevano il problema

Prima di costruire il modello conviene fissare i termini del paradosso. Nel 1990 — anno in cui viene istituito il Comitato Internazionale per la salvaguardia del monumento — le tre verifiche che qualunque professionista avrebbe condotto restituivano esiti tranquillizzanti:

• resistenza della muratura: sulla sezione anulare lorda d'imposta (A ≈ 145,7 m²; W ≈ 345,8 m³) la tensione massima di compressione risulta σ = N/A + M/W ≈ 0,97 + 0,90 ≈ 1,88 MPa, valore modestissimo per una muratura di conci di marmo;
• capacità portante del terreno: la pressione media trasmessa al piano di posa, pari a circa
  497 kPa, è elevata per un'argilla normalconsolidata ma non ha mai innescato un meccanismo di rottura generale;
• ribaltamento come corpo rigido (lo stato limite EQU delle NTC): perché la retta d'azione del peso uscisse dall'impronta di fondazione occorrerebbe una rotazione dell'ordine di 23°, contro i 5°30' effettivamente raggiunti; il coefficiente di sicurezza vale FS = R/e = 9,79/2,20 ≈ 4,45.

Eppure la torre stava andando fuori servizio, e a velocità crescente. Il punto è che nessuna delle tre verifiche interroga la grandezza che governa realmente il fenomeno.

Lo schema statico corretto: corpo rigido su vincolo elastico rotazionale

Perché il fusto non è una mensola caricata da azioni esterne

Il primo passo consiste nell'abbandonare l'immagine della mensola incastrata al suolo e caricata da azioni orizzontali.

Tre circostanze rendono il problema strutturalmente diverso:

• l'azione che genera il momento ribaltante non è esterna e variabile, ma è il peso proprio
  — W = 141,8 MN — cioè un'azione permanente, sempre presente e non riducibile;
• il braccio di tale azione non è un dato geometrico fisso, ma cresce con la deformazione: ogni incremento di rotazione accresce l'eccentricità, l'eccentricità accresce il momento e il momento accresce a sua volta la rotazione. Si tratta quindi di un problema di equilibrio in configurazione deformata, cioè di un problema del secondo ordine;
• la deformabilità del sistema è concentrata quasi integralmente nel terreno: la deformazione flessionale del fusto risulta di ordini di grandezza inferiore alla rotazione rigida del piano di posa, sicché la torre si comporta da corpo rigido con un solo grado di libertà, la rotazione θ.

Ne discende che la «molla» che si oppone al meccanismo non è la rigidezza flessionale della struttura, bensì la rigidezza rotazionale del complesso fondazione-terreno, indicata nel seguito con K(θ).

La sezione resistente «a sacco» e le riduzioni locali di area reagente

Il fusto è una corona anulare in muratura a tre strati: due paramenti in conci di marmo di San Giuliano racchiudono un nucleo di pietrame e malta, e nello spessore murario è ricavata la scala elicoidale.

Da questa configurazione discendono tre conseguenze statiche: la sezione non è monolitica, e il trasferimento delle tensioni fra paramenti e nucleo resta affidato all'aderenza e all'ingranamento; la resistenza a trazione è praticamente nulla, sicché la sezione reagisce solo a compressione e può parzializzarsi; logge, cornicioni e vano scala determinano riduzioni locali dell'area reagente, che concentrano le tensioni ben oltre i valori medi.

È su quest'ultimo aspetto che si innesta il rischio di rottura fragile del marmo, al quale si è risposto nel 1992 con la cerchiatura del primo cornicione.

I numeri dell'equilibrio: eccentricità, nocciolo e pressioni di contatto

Con la rotazione del piano di fondazione pari a 5°30' l'eccentricità della risultante dei pesi vale e = hG · tg θ = 22,60 · tg 5°30' ≈ 2,20 m, cui corrisponde un momento al piano di posa M = W · e ≈ 312 MNm. Sulla corona di fondazione (diametri 19,58 e 4,50 m; A = 285,2 m²; I = 7.195 m⁴; Wf = 734,9 m³) si ottiene:

σm = W/A = 497 kPa                       σmax ≈ 920 kPa (lato sud)                        σmin ≈ 70 kPa (lato nord)

Il margine residuo sul nocciolo: mezzo grado di rotazione

Poiché il contatto non reagisce a trazione, la prima condizione di compatibilità impone che il centro di pressione ricada entro il nocciolo centrale d'inerzia, il cui raggio per la corona di fondazione vale u = Wf/A = 2,577 m.

Risulta e/u = 0,85: la sezione di posa era ancora interamente compressa, ma il centro di pressione distava dal contorno del nocciolo appena 38 centimetri, pari a mezzo grado di rotazione.

Superata quella soglia la sezione di contatto si parzializza, l'area reagente si riduce e con essa diminuisce la rigidezza rotazionale, cioè proprio la grandezza da cui dipende la stabilità. Dopo gli interventi il rapporto è sceso a 0,78.

La condizione che decide tutto: Kt > W · hG · cos θ

La condizione di equilibrio alla rotazione — momento ribaltante uguale al momento reattivo del terreno, W · hG · sen θ = K(θ) · θ — individua una posizione di equilibrio, ma non dice nulla sulla sua stabilità.

Per saperlo occorre confrontare non i momenti, ma le loro derivate rispetto alla rotazione: il tasso di crescita del momento ribaltante vale W · hG · cos θ, quello del momento reattivo è la rigidezza rotazionale tangente Kt.

La condizione di stabilità è dunque:

Kt > W · hG · cos θ ≈ 141.800 · 22,60 · cos 5°30' ≈ 3,19 · 10⁶ kNm/rad

Si osservi la natura del termine di destra: esso non contiene alcuna proprietà di resistenza, ma soltanto il peso della fabbrica e la quota del suo baricentro, e rappresenta la soglia minima di rigidezza rotazionale al di sotto della quale nessuna configurazione di equilibrio stabile è possibile.

Rigidezza di breve termine e rigidezza differita: due risposte da non confondere

Il termine di sinistra, per contro, non è una costante del terreno: si tratta di una rigidezza tangente, dipendente dal livello tensionale, dalla storia di carico e dal tempo.

Occorre perciò distinguere nettamente due risposte.

Sotto le azioni transitorie — vento, sisma, escursioni termiche — il sistema reagisce con una rigidezza di breve termine molto elevata, largamente superiore alla soglia: la torre oscilla elasticamente e ritorna nella configurazione iniziale, ed è questa la ragione per cui otto secoli di raffiche e di terremoti non l'hanno abbattuta.

Sotto il carico permanente, invece, la risposta è dominata dalle deformazioni viscose dell'argilla e la rigidezza tangente si riduce progressivamente al crescere della rotazione, mentre il prodotto W · hG resta immutato. È quest'ultima, e non la prima, la grandezza da confrontare con la soglia critica.

Per dare la misura del contributo delle azioni variabili: assumendo qb ≈ 0,46 kN/m², un coefficiente di esposizione dell'ordine di 2,4 e un coefficiente di forma 0,7 per sezione circolare, la spinta del vento vale circa 660 kN e il momento ribaltante conseguente circa 20 MNm, pari al 6% di quello prodotto dal peso proprio.

L'equilibrio della torre è governato integralmente dai carichi permanenti e dalla loro geometria.

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FAQ TECNICHE - Terreni compressibili: la verifica di stabilità che spiega la Torre di Pisa

Che differenza c'è tra la verifica al ribaltamento (EQU) e la verifica di stabilità dell'equilibrio?

La verifica EQU confronta due momenti in configurazione indeformata e restituisce un coefficiente di sicurezza geometrico. La verifica di stabilità confronta le loro derivate rispetto alla rotazione, cioè il tasso di crescita del momento ribaltante con la rigidezza rotazionale del terreno. Nel caso pisano la prima dava FS = 4,45, la seconda era prossima al limite.

Quando conviene eseguire la verifica di stabilità dell'equilibrio su una torre esistente?

Ogni volta che ricorrono contemporaneamente tre condizioni: baricentro alto rispetto alla dimensione dell'impronta di fondazione, carichi permanenti prevalenti sulle azioni variabili e terreno di fondazione compressibile o viscoso. Un fuori piombo misurato, anche modesto, o una rotazione in atto rendono la verifica necessaria, non opzionale.

Come si stima la rigidezza rotazionale tangente del complesso fondazione-terreno?

Per via diretta non è misurabile: si procede per back-analysis, applicando un momento noto - un contrappeso, una variazione di carico documentata, un evento registrato - e misurando la rotazione conseguente. Il valore così ottenuto è la rigidezza di breve termine; quella di lungo termine si stima dal comportamento viscoso del terreno e si controlla con il criterio cinematico.

Che indagini geotecniche servono, in concreto, per impostare la verifica?

Prove edometriche a lungo termine per il comportamento viscoso, misura della rigidezza a piccole deformazioni (colonna risonante, cross-hole, down-hole), ricostruzione della storia tensionale e del grado di sovraconsolidazione, piezometri per l'andamento della falda. Le sole prove di resistenza al taglio non sono sufficienti.

Come si definiscono le soglie di attenzione e di allarme per un campanile che ruota?

Sulla velocità di rotazione e sulla sua tendenza, non sul valore assoluto del fuori piombo. Si depura la serie dalle componenti cicliche stagionali, si stima l'andamento di fondo su una finestra di almeno due o tre anni e si fissano le soglie sull'incremento della velocità: una velocità crescente sotto carico costante segnala che il margine si sta riducendo.

La sottoescavazione è una tecnica applicabile a casi ordinari o è rimasta un unicum?

È una tecnica ordinariamente impiegata per la correzione controllata dei cedimenti differenziali, ma richiede tre condizioni: un terreno adatto all'asportazione, un monitoraggio in continuo con retroazione immediata e la possibilità di procedere per piccoli passi reversibili. Sugli edifici correnti va valutata in alternativa ai consolidamenti tradizionali, sulla base di un'analisi costi-benefici e di un'analisi del rischio.

Le NTC 2018 impongono questa verifica?

Non con una procedura codificata. Le NTC disciplinano EQU, GEO e STR, mentre la stabilità dell'equilibrio del sistema struttura-terreno ricade nel dovere generale di condurre l'analisi in configurazione deformata quando gli effetti del secondo ordine risultano significativi. In assenza di un modello normativo di riferimento, spetta al progettista impostarla e documentarla.

Contenuto predisposto con l'ausilio dell'intelligenza artificiale.

Nota sulle fonti e sui dati. I dati geometrici, ponderali e geotecnici sono desunti dalla letteratura tecnica relativa al monumento e dagli studi del Comitato Internazionale per la Salvaguardia della Torre di Pisa (1990-2001); si vedano in particolare i contributi di J. B. Burland, M. Jamiolkowski e C. Viggiani sull'analisi geotecnica e sulla sottoescavazione, nonché quelli di E. C. Hambly sull'analogia del pendolo inverso. I dati di monitoraggio sono resi disponibili dall'Opera della Primaziale Pisana. Le elaborazioni numeriche e tutte le figure sono originali dell'autore e hanno valore illustrativo del modello statico: non costituiscono verifica strutturale del monumento.